統計学
統計学は、観測や実験で得たデータを集め、整理し、分析することで、その背後にある集団の性質や規則性を明らかにする学問である。確率論を数理的な土台とし、限られた標本から全体を推し量る方法を体系化してきた。経済、医療、社会調査など応用範囲は広い。製造業では、品質のばらつきを数値で捉えて工程を改善するための道具として欠かせない存在となっている。
国家の記録から科学の方法へ
語源はラテン語のstatus（国家）にあり、もともとは人口や税収を把握するための国勢記述を指していた。転機は1662年である。ロンドンの商人ジョン・グラントが教区の死亡表を分析し、『死亡表に関する自然的および政治的諸観察』を刊行した。19世紀にはケトレーが社会現象に「平均人」の概念を持ち込み、20世紀初頭にはカール・ピアソンが相関係数やカイ二乗検定を整備した。1925年にロナルド・フィッシャーが『研究者のための統計的方法』を著すと、有意性検定や分散分析が実験科学の標準手法として定着する。日本では1871年に太政官正院政表課が設置され、明治期から官庁統計の整備が進められた。
記述統計・推測統計・ベイズ統計の違い
現代の統計学は、目的と考え方によっておおむね三つの系統に分けられる。手元のデータを要約して特徴を示すのが記述統計、標本から母集団を推定して判断を下すのが推測統計である。ベイズ統計は事前の知識を確率で表し、データが得られるたびに確信の度合いを更新していく点に特色がある。
| 区分 | 主な目的 | 代表的手法 | 製造現場での例 |
|---|---|---|---|
| 記述統計 | データの要約・可視化 | 平均、分散、ヒストグラム | 日報に記録した寸法データの集計 |
| 推測統計 | 母集団の推定・検定 | 区間推定、仮説検定、回帰分析 | 新旧材料で引張強度に差があるかの判定 |
| ベイズ統計 | 事前情報を含めた推論 | ベイズ推定、MCMC法 | 少数の試作品からの故障率推定 |
ばらつきを測る指標
データの中心を示す平均値だけでは、品質の実態はつかめない。鍵になるのは散らばりの大きさで、これを表すのが分散と標準偏差である。標本標準偏差 s は次の式で求める。
s = √{ Σ(xi − x̄)2 ／ (n − 1) }
分母をnではなくn − 1とするのは、標本平均を使うことで失われる自由度を補正し、母分散の不偏推定量を得るためである。データが正規分布に従うなら、平均±1σの範囲に約68.3%、±2σに約95.4%、±3σに約99.73%が収まる。この性質が、後で述べる管理図の3σ管理限界の根拠になっている。
製造業と統計的品質管理
工業分野への本格的な応用は、1924年にベル研究所のウォルター・シューハートが管理図を考案したことに始まる。工程のばらつきを偶然原因と異常原因に分け、管理限界を外れた点にだけ対処するという発想は、全数検査に頼っていた当時の工場に大きな転換をもたらした。戦後の日本では、1950年にW・E・デミングが日本科学技術連盟の招きで講演を行い、翌1951年にデミング賞が創設されている。現場の改善活動では、パレート図や特性要因図を含むQC七つ道具が品質管理の共通言語として広まった。規格面では、管理図についてJIS Z 9020-2（シューハート管理図）が、用語についてJIS Z 8101やISO 3534が整備されている。
工程能力指数の考え方
工程が規格を満たす能力を一つの数値で示すのが工程能力指数である。上限規格をUSL、下限規格をLSL、工程平均をμとすると、次の式で表される。
Cp = (USL − LSL) ／ 6σ
Cpk = min{ (USL − μ) ／ 3σ, (μ − LSL) ／ 3σ }
Cpが1.00のときは規格幅と6σが等しく、不良率はおよそ0.27%になる。自動車部品の取引では、量産時にCpk 1.33以上、初期流動段階では1.67以上を求める顧客が多い。実務でよくある落とし穴は、データが少ないまま指数を出してしまうことである。Cpk 1.33の工程でも、データが30点しかなければ推定値の標準誤差は約0.18になる。そのためサプライヤー監査では、100点前後のデータを群に分けて評価するよう指導されることがある。測定器自体のばらつきが大きいと指数は実力より低く出るので、先にゲージR&Rを行い、測定系の寄与が10%未満であることを確かめておくのが定石とされる。
実験計画法と品質工学
少ない試行で効率よくデータを取るための方法論が実験計画法である。フィッシャーがロザムステッド農業試験場で確立した手法で、複数の因子を同時に変え、分散分析によって因子ごとの効果を切り分ける。日本では田口玄一が直交表とSN比による評価を発展させ、のちに品質工学（タグチメソッド）として体系化した。L18直交表を使えば、2水準の因子1つと3水準の因子7つの組み合わせを18回の実験で評価できる。すべての組み合わせを試すと2×37＝4,374通りになるため、試作費や設備を止める時間の削減効果は大きい。射出成形の条件出しやはんだ付け温度の最適化など、試行錯誤に頼りがちな工程で特に力を発揮する。
シックスシグマとデータ活用の広がり
1980年代に米モトローラ社が始めたシックスシグマは、統計手法を経営改善の枠組みに組み込んだ取り組みとして知られる。工程平均が1.5σずれることを見込んだうえで、100万回あたりの欠陥を3.4回以下に抑えることを目標とした。近年はIoTセンサーで秒単位のデータが集まるようになり、機械学習と組み合わせたデータサイエンスとの境界も薄れてきている。それでも、多変量の異常検知モデルでさえ、根底にあるのは平均と分散、そして確率分布の扱いである。
現場で統計を使う際の注意点
判断を誤らせるのは、手法そのものより使い方の間違いであることが多い。製造現場でよく見られる失敗には次のようなものがある。
- 正規性を確認しないまま3σやCpkを当てはめる（表面粗さや真円度は片側に偏った分布になりやすい）
- p値0.05を境に「効果あり・なし」を機械的に決め、効果の大きさを確かめない
- 相関関係を因果関係と取り違える
- 層別をせず、複数ラインや複数ロットのデータを混ぜて評価する
- 出荷判定の抜取検査で、JIS Z 9015に定めるAQLの意味を理解しないまま検査水準を選ぶ
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