動的解析
動的解析とは、質量・剛性・減衰をもつ系に外力や基盤加速度が作用したとき、系が時間もしくは周波数に対してどのように応答するかを評価する手法である。静的解析が平衡状態のひずみ・応力を扱うのに対し、動的解析は慣性力と減衰力を含む運動方程式を解く点に特徴がある。機械構造、プラント配管、車両、建築・土木構造、回転機械、電子機器の耐衝撃設計など幅広い分野で用いられ、固有振動数・モード形状、共振、減衰特性、過渡応答、ランダム振動などを把握することで、破損・疲労・騒音・性能劣化のリスクを低減する設計を可能にする。本分野は材料力学、制御工学、信号処理と密接に関連し、JISやISOの振動試験規格に準拠した評価にも対応する。
基本概念と運動方程式
動的解析の基礎は、質量行列M、減衰行列C、剛性行列Kを用いたMẍ＋Cẋ＋Kx＝f(t)で表される運動方程式である。1自由度では、ばね‐質量‐ダンパ系に帰着し、固有角振動数ωn＝√(k/m)、減衰比ζ＝c/2√(km)で系の性質を特徴づける。複数自由度では行列固有値問題となり、固有値が固有振動数、固有ベクトルがモード形状に対応する。
モデル化と前提条件
動的解析では境界条件、付加質量、締結部、支持ばね、ダンパ、非構造部材の寄与を適切にモデル化する必要がある。例えばボルト締結のすべりやガタは減衰の主要因となり、線形粘性減衰に置換するか、接触非線形として扱うかで結果が大きく変わる。入力は外力、基盤加速度、回転不釣合いなどを想定する。
周波数応答とモーダル解析
線形系では固有値解析でモードを抽出し、モード重ね合わせにより周波数応答関数(FRF)を求める。モーダル減衰を各モードに付与すれば、ピーク広がりから減衰比を推定できる。共振付近の設計では、質量・剛性調整やチューニングドダンパ(TMD)導入によりピークを低減する。
数値積分法
動的解析の過渡応答は時間積分で解く。代表例はNewmark-β法、平均加速度法、Wilson-θ法、Hilber–Hughes–Taylor法であり、数値減衰や条件付き安定性が異なる。時間刻みΔtは最高関心周波数の少なくとも10倍以上のサンプリング(例: Nyquistの観点で2倍、実務では10～20倍)を目安に選定する。
- Newmark-β(平均加速度): 無条件安定、応答の滑らかさ良好
- Wilson-θ: 高周波数の数値減衰が大きく衝撃応答に有効
- HHT: 数値高周波成分を減衰させる拡張Newmark
減衰とエネルギー
減衰は材料内部損失、空気抵抗、摩擦、締結部の微小すべりなどの総和である。実務では比例減衰(Rayleigh)やモーダル減衰を用いる。エネルギー収支で見ると、入力仕事＝運動エネルギー＋ひずみエネルギー＋散逸であり、散逸の設定は応答ピークと減衰時間に直結する。空気や流体との相互作用が大きい系では流体力学的減衰も無視できない。
有限要素法(FEM)による動的解析
FEM/FEAではメッシュ品質、要素タイプ、質量行列(一致/集中)、境界条件が固有値・応答に影響する。板殻要素のせん断ロッキング、回転機のジロ効果、接触非線形、ゴム等の粘弾性は注意点である。モード縮約(CMS)により大規模モデルでも高速に周波数応答を算出できる。
- 固有値解析: Lanczos等で高次モードまで抽出
- 周波数応答: ハーモニック解析でFRFを算出
- 過渡応答: 衝撃・任意波形に対する時間応答
ランダム振動とPSD
環境振動や輸送振動は確率過程として扱い、入力PSDに対する出力PSDとRMS応力・変位を評価する。モード空間での線形システムは扱いやすく、ガウス性・定常性仮定の妥当性が鍵となる。累積損傷はMiner則や疲労曲線と組み合わせて見積もる。
衝撃・地震応答
動的解析では台形・半正弦・矩形等の衝撃波形、地震波(基盤加速度)に対する最大応答やSRS(Shock Response Spectrum)を評価する。基礎固定モデルだけでなく、免震・制振デバイスの付与、据付剛性、アンカーボルトの引抜きまで整合的にモデル化することが重要である。
実験モーダル解析と同定
加振器・インパクトハンマと加速度計でFRFを測定し、固有振動数・減衰比・モード形状を同定する。実験結果と数値モデルを相関化(MAC、FRAC)し、質量・剛性・減衰のパラメータを更新すれば、動的解析の予測精度が向上する。計測系の取り付け質量の影響や窓関数、平均化、FFT設定も注意点である。
検証・妥当性確認(Verification & Validation)
Verificationでは離散化・時間刻み・収束を確認し、Validationでは試験との一致を確認する。感度解析で不確かさを把握し、設計余裕を確保する。入力プロファイルや境界条件が現実の機械運用と一致しているかを常に点検する姿勢が肝要である。
よくある落とし穴
- 時間刻みが粗くエイリアシングが発生し、ピークが過小評価される。
- 不適切な減衰設定で共振ピークや過渡減衰が実機と乖離する。
- 集中質量化により局所モードが失われる。
- 接触・クリアランス・バックラッシュ等の非線形を線形化しすぎる。
- 固定境界の過剛化により固有値が過大になる。
- 周波数応答と時間応答の整合確認を怠る。