制約条件
制約条件とは、設計や数理最適化において意思決定変数が取り得る範囲や関係を限定し、実現可能な解集合（feasible set）を定める規則である。要求事項・安全基準・予算・資源・法規・物理法則などを数式や論理で表現し、目的関数の最適化と両立させる枠組みを提供する。適切な制約の設定は、過度な探索を抑え計算効率を高める一方、厳しすぎる制約は可行解を消し、緩すぎる制約は現実性を損なうため、整合的な定義と検証が重要である。
定義と数学的表現
一般に意思決定変数をxとすると、等式制約h(x)=0と不等式制約g(x)≤0で可行領域Ω={x | h(x)=0, g(x)≤0}を与える。連続量・離散量・混合整数を含む場合もある。工学設計では寸法・応力・温度・振動・電力・濃度などの上限下限、法規適合や安全係数などを制約として組み込む。
種類と性質
制約は等式・不等式・境界条件、さらに整数制約や論理制約に分類される。実務では「必ず満たす」ハード制約と「望ましい」ソフト制約を使い分け、後者はペナルティで目的関数へ吸収することが多い。幾何制約・接触条件や材料強度条件、騒音・振動の規制値など領域横断の制約も多い。
等式制約と不等式制約の違い
等式は自由度を厳密に削減して解の多様体を規定し、不等式は許容範囲を包絡する。数値解法では活性（等号化）する不等式を能動集合として扱い、境界上のKKT条件を満たす点を探索する。
ハード制約とソフト制約
ハード制約は可行性を左右するため厳守が前提である。ソフト制約はJ(x)+ρ⋅penalty(g,h)の形で目的関数へ統合し、重みρの調整で実現性と性能の折衝を図る。
理論基盤：ラグランジュ法とKKT条件
等式制約にはラグランジュ未定乗数法を、一般の非線形制約にはKKT条件を用いる。乗数は影の価格として制約の活性度・限界価値を示す。スラック変数でg(x)≤0を等式化し、拡張ラグランジュ法やバリア法で数値的に扱う。
アルゴリズムとの関係
連続最適化ではSQP、内点法、能動集合法、信頼領域法が代表的である。大規模・分散構造にはADMM、離散・混合問題にはMIPやヒューリスティクス（GA、PSO等）が実務で使われる。いずれも制約の可行性維持か、違反量最小化かの設計が鍵である。
工学設計における具体例
- 機械：応力≤許容応力、固有振動数≥目標、形状寸法範囲、公差連鎖、重量≤上限
- 電気：電流・電圧・温度の上限、ノイズ指標、消費電力・バッテリ寿命制約
- 化学：物質収支・エネルギー収支、濃度・反応率、排出規制・安全弁設定
これらはJISやISOの規格値、社内設計基準と整合を取って定義する。
モデル化の要点
単位と次数の整合、スケーリングと正規化、冗長・矛盾制約の除去、測定誤差の取り込みが重要である。連続緩和や凸近似により解法の収束性を高める。制約面の滑らかさは勾配ベース手法の安定に寄与する。
検証・感度とトレーサビリティ
初期可行点の有無、可行率、違反量分布を点検し、乗数や双対ギャップでボトルネック制約を特定する。パラメトリックに上限値・安全率を揺らして感度を評価し、要求→仕様→制約のトレーサビリティを維持する。
多目的最適化との関係
複数の性能が競合する場合、制約として縛るか、目的として重み付け統合するかを選ぶ。正規化や重みのスイープでPareto前線を得る。制約化は設計空間を削り、目的化は折衝を可視化する。
実装パターン（例）
ペナルティ法：min J(x)+ρ∑max(0,g_i(x))^2 で違反を抑制する。バリア法：g_i(x)<0内で−μ∑log(−g_i(x))を加えて内側から境界へ近づく。射影法：可行集合上へ射影して更新する。いずれもρやμの更新計画が性能を左右する。
離散・混合制約の扱い
整数や論理制約はMIPで厳密に解くか、連続緩和と枝刈りで扱う。サロゲートモデルで制約面の近似を構築し、実験計画（LHS、Sobol）と能動学習で可行領域を効率探索する手法も有効である。
関連概念への接続
制約は目的関数と対で最適化の骨格を成す。基礎事項は最適化問題、性能指標は目的関数やコスト関数、逆向き推定は逆問題、モデル側は状態方程式を参照すると理解が進む。制御や信号処理に関わる制約は伝達関数、フーリエ解析、ラプラス変換の枠組みで数式化される。
よくある落とし穴と対策
- 矛盾する制約：早期に可行性判定し、要求の階層化で優先度を明確化
- 縮尺の不一致：正規化と重みの再スケーリングを徹底
- 過度なペナルティ：条件数悪化を招くため増加スケジュールを緩やかに
- 近似の不整合：実験・解析の往復で制約モデルを逐次更新