ゲーム理論｜相互依存する意思決定を数理で分析

ゲーム理論

ゲーム理論は、複数の主体が互いの行動を読み合いながら意思決定を行う状況を、数学的なモデルで分析する学問分野である。「ゲーム」という名称を持つものの、対象は遊戯に限られない。企業間の価格競争、国家間の軍縮交渉、オークション、生物の進化まで、利害が絡み合う場面を幅広く扱う。1944年にジョン・フォン・ノイマンとオスカー・モルゲンシュテルンが著した『ゲームの理論と経済行動』によって体系化され、現在では経済学をはじめ、政治学、生物学、情報工学など多くの分野で基礎理論として用いられている。

クールノーからフォン・ノイマンへ――成立の経緯

源流は19世紀までさかのぼる。フランスの数学者アントワーヌ・オーギュスタン・クールノーは1838年、2社が生産量を競い合う複占市場のモデルを発表した。現在「クールノー競争」と呼ばれるこの分析には、相手の出方を前提に自社の最適な選択を決めるという、のちの均衡概念の原型がすでに含まれていた。ただし、理論として独立したのは20世紀に入ってからである。フォン・ノイマンは1928年、二人ゼロ和ゲームにおけるミニマックス定理を証明した。自分の最大損失を最小化する戦略をとれば、両者の期待利得が一致する点が必ず存在するという内容で、これがゲーム理論の数学的な出発点とされる。第二次世界大戦中から戦後にかけては、米国のランド研究所が軍事戦略の研究に積極的に取り入れ、研究が急速に進んだ。

ゲームを構成する要素

分析の対象となるゲームは、「プレイヤー」「戦略」「利得」の3要素で定義される。プレイヤーは意思決定を行う主体で、個人でも企業でも国家でもよい。戦略はプレイヤーが選べる行動の集合を指し、利得は各戦略の組み合わせから得られる結果を数値で表したものである。たとえば2社が「値下げする」「据え置く」の2択を持つ場合、組み合わせは2×2の4通りとなり、それぞれに両社の利益を割り当てた表を利得行列と呼ぶ。プレイヤーが自らの利得を最大化しようとする「合理性」を仮定する点も、古典的なモデルの大きな特徴といえる。

ナッシュ均衡と最適反応

理論の中核をなすのが、ジョン・ナッシュが1950年に提示したナッシュ均衡である。他のプレイヤーの戦略を所与としたとき、どのプレイヤーも自分だけ戦略を変えて得をすることがない状態を指す。プレイヤーiの戦略をs_i、それ以外のプレイヤーの戦略をs_-i、利得関数をu_iとすると、均衡戦略の組(s_i^*, s_-i^*)は次の条件を満たす。

u_i(s_i^*, s_-i^*) ≥ u_i(s_i, s_-i^*)　（すべてのプレイヤーiと、すべての戦略s_iについて）

相手の戦略に対して最も高い利得をもたらす自分の戦略を「最適反応」といい、全員が互いに最適反応をとり合っている状態がナッシュ均衡にあたる。ナッシュは有限のゲームであれば、少なくとも1つの均衡が必ず存在することを不動点定理を使って示した。

混合戦略

じゃんけんのように、純粋な戦略だけでは均衡が見つからないゲームもある。この場合、各手を確率的に選ぶ「混合戦略」を考える。じゃんけんでは、グー・チョキ・パーをそれぞれ1/3の確率で出すことが均衡となる。

囚人のジレンマが示す協調の難しさ

最もよく知られた例が囚人のジレンマである。1950年にランド研究所のメリル・フラッドとメルビン・ドレシャーが考案し、数学者アルバート・タッカーが囚人の物語として紹介したことで名前が定着した。別々に取り調べを受ける2人の容疑者が「黙秘」か「自白」かを選ぶ状況で、懲役年数を利得として示すと下表のようになる。

相手がどちらを選んでも、自分は自白したほうが刑が軽くなる。そのため両者とも自白し、5年ずつの刑に落ち着く。2人そろって黙秘すれば1年で済むにもかかわらず、個人の合理的な判断が全体として悪い結果を招くわけである。この構造は、価格競争で業界全体の利益が削られる現象や、環境規制をめぐる国際交渉にもそのまま当てはまる。なお、同じゲームを何度も繰り返す場合は事情が変わる。政治学者ロバート・アクセルロッドが1980年前後に開いたコンピュータ対戦の大会では、初回は協調し、以後は相手の前回の手をまねる「しっぺ返し戦略」が最高得点を収めた。

主な分類

ゲームは前提条件の違いによっていくつかの型に分けられ、分析手法もそれぞれ異なる。代表的な区分は次のとおりである。

• 協力ゲームと非協力ゲーム：プレイヤー間で拘束力のある合意ができるかどうかによる区分
• ゼロ和ゲームと非ゼロ和ゲーム：全員の利得の合計が常に0になるかどうかによる区分
• 同時手番ゲームと逐次手番ゲーム：意思決定が同時か、順番に行われるかによる区分。後者は樹形図（ゲームの木）で表す
• 完全情報ゲームと不完全情報ゲーム：相手の過去の行動や利得の情報をどこまで知っているかによる区分

将棋やチェスは逐次手番の完全情報ゼロ和ゲームに分類され、理論上は先手必勝・後手必勝・引き分けのいずれかに決まっている。ポーカーは相手の手札が見えないため、不完全情報ゲームの典型例とされる。

製造業・調達の実務での応用

製造業の現場でゲーム理論が意識されやすいのは、部品や素材の調達交渉である。発注側と供給側は価格・納期・数量をめぐって利害が対立するが、取引が長く続く関係では、繰り返しゲームとして考えることで協調的な合意を保ちやすくなる。サプライチェーンの分野では、各社が自社の在庫コストだけを最小化しようとすると、需要の変動が上流ほど大きくなる「ブルウィップ効果」が起こりやすい。この問題は、契約の設計によって各社の利得を全体最適と一致させる「サプライチェーン契約」の研究として進められており、買戻し契約や収益分配契約がその代表例である。

リバースオークションの落とし穴

電子調達システムで普及したリバースオークション（競り下げ入札）は、短期的には購入単価を5〜15%程度下げられるとされる。しかし、金型や治具の償却を伴う加工部品では注意が必要となる。落札額が原価を下回ると、サプライヤーは品質管理や設備更新への投資を削らざるを得ず、結果として不良率の上昇や供給停止という形で発注側に跳ね返る。実務では、技術評価点と価格を組み合わせた総合評価方式を採用したり、入札対象を汎用品に限定したりする企業が多い。

ノーベル経済学賞と研究の広がり

分野の発展は、ノーベル経済学賞の受賞歴にもよく表れている。1994年にはナッシュ、ジョン・ハーサニ、ラインハルト・ゼルテンの3名が非協力ゲームの均衡分析で受賞した。その後も2005年にロバート・オーマンとトーマス・シェリング、2012年にロイド・シャプレーとアルヴィン・ロス、2020年にポール・ミルグロムとロバート・ウィルソンが受賞している。シャプレーとロスの業績は研修医と病院の組み合わせを決めるマッチング制度に、ミルグロムとウィルソンの業績は米国の周波数オークションの設計に活用された。生物学ではジョン・メイナード＝スミスが1973年に「進化的に安定な戦略（ESS）」を提唱し、動物の闘争行動を説明している。近年は人工知能分野でも、複数のエージェントが学習する環境や敵対的生成ネットワーク（GAN）の分析に用いられている。

合理性の仮定をめぐる批判

古典的なモデルは、プレイヤーが完全に合理的で、計算能力にも限界がないことを前提としている。だが現実の人間はこの仮定どおりには動かない。提案者が金額の分け方を決め、受け手が受諾か拒否かを選ぶ「最後通牒ゲーム」の実験では、理論上は最低額の提案でも受諾されるはずなのに、実際の提案額は全体の40〜50%に集中し、20%を下回る提案は拒否されやすいことが多くの国で確認されている。こうした結果を受けて、心理学の知見を取り入れた行動経済学や、人間の判断に限界があることを前提にした限定合理性のモデルが発展した。理論の予測と実際の行動とのずれをどう説明するかは、現在も意思決定研究の中心的な論点であり、オペレーションズ・リサーチや経営戦略の分野でもモデルを使う際には前提条件の確認が欠かせない。