波動方程式｜振動・伝播を記述する偏微分方程式

波動方程式

波動方程式は、弦・音・電磁波・弾性波などの「波」を記述する代表的な偏微分方程式である。最も基本的な形は、1 次元では ∂²u/∂t² = c² ∂²u/∂x²、3 次元では ∂²u/∂t² = c²∇²u と書かれる。ここで u は変位・圧力・電場などの場、c は媒質中の位相速度である。線形性と重ね合わせが成り立つため、複雑な初期・境界条件も基底解の和で表現できる。抽象的にはエネルギー保存と因果性に基づく双曲型方程式であり、信号の伝播領域（特性曲線や光円錐）が明確である点に特徴がある。

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波動方程式

基本形と物理的意味

1 次元の弦では u(x,t) が横変位を表し、c = √(T/μ)（張力 T、線密度 μ）で決まる。流体の音波では u を圧力摂動や粒子速度ポテンシャルで表し、c = √(K/ρ)（体積弾性率 K、密度 ρ）となる。3 次元形 ∂²u/∂t² = c²∇²u は、等方・均質・無損失という単純化の下でのモデルであり、反射・屈折・干渉・回折などの基本現象を統一的に説明できる。

弦の横波：楽器・ケーブル振動の基礎
音波：空気・水中の音響、超音波非破壊検査
電磁波：Maxwell 方程式から導かれる光・RF の伝播

導出の概略

微小要素に運動方程式を立て、フックの法則や質量保存を用いて差分平衡をとれば、極限で二階の時間・空間微分が現れる。弦では μ∂²u/∂t² = T∂²u/∂x² より c = √(T/μ)。音響では圧縮性と密度から c = √(K/ρ)。細い棒の縦波は c ≈ √(E/ρ)（E はヤング率）で近似できる。電磁場では ∇×(∇×E) の恒等式と電荷のない領域を仮定して ∂²E/∂t² = c²∇²E、c = 1/√(μ₀ε₀) が得られる。

音響・固体での速度式

理想気体の小振幅音波は c = √(γp/ρ)。等方弾性体では縦波 c_L、横波 c_S が生じ、一般に c_L > c_S である。材料の異方性・温度・応力状態により c は空間的に変化し、波面が歪む。

解法と代表解

代表的な手法は分離定数法である。区間 0 ≤ x ≤ L、固定端（u=0）では固有関数 sin(nπx/L) と固有角周波数 ω_n = nπc/L が得られ、任意の初期変位・速度はフーリエ級数で展開できる。無限一次元ではダランベールの解 u(x,t) = f(x−ct) + g(x+ct) が一般解であり、右向き・左向きの進行波の重ね合わせとして理解できる。

Dirichlet（固定端）：u=0
Neumann（自由端）：∂u/∂x=0
Robin（混合）：αu+β∂u/∂x=0

フーリエ級数と固有値

Sturm–Liouville 型の自伴作用素に対して、固有関数は直交基底を成す。初期条件 u(x,0)=f(x)、u_t(x,0)=g(x) はフーリエ係数の初期値に写像され、時間依存は cos(ω_nt)、sin(ω_nt) で与えられる。

エネルギーと保存則

弦のエネルギー密度は運動項 (1/2)μu_t² とひずみ項 (1/2)T u_x² の和である。損失や外力がなければ全エネルギーは時間不変で、流束（弦では −Tu_xu_t）が系外に運ばれる。電磁波ではポインティングベクトルがエネルギー流を与える。

数値解法と安定性

FDM の中央差分（leap-frog）による陽解法は実装が容易だが、CFL 条件 cΔt/Δx ≤ 1 を満たさないと発散する。境界では吸収境界（ABC）や PML を導入して反射を抑える。有限要素法（FEM）や有限体積法（FVM）も広く用いられ、時間積分は Newmark-β、RK、Crank–Nicolson など問題に応じて選択する。

境界処理と実装上の要点

ゴーストセルで条件を弱形式に実装し、数値分散を抑えるため 1 波長あたり 10–20 点以上の空間解像度を確保する。非均質媒質では c(x) の急変部に合わせて格子を細分化する。

拡張と関連方程式

減衰や外力を含む u_tt + 2ζωu_t − c²∇²u = s は実用上重要である。相対論・場の理論では Klein–Gordon 方程式 u_tt − c²∇²u + m²u = 0 が現れる。非線形効果が卓越すると KdV、NLS などのソリトン方程式が支配的になる。弾性体のベクトル波では C_ijkl∂_i∂_ju_k のようなテンソル形式が必要である。

グリーン関数と伝播領域

Green 関数は点源応答を与え、畳み込みで一般解を構成できる。1 次元では信号は光円錐内に広がり、3 次元の無損失・等方媒質ではフロントが鋭い（Huygens の原理）。2 次元では尾を引く減衰が現れる。

次元解析とスケーリング

x′=x/L、t′=ct/L、u′=u/U で無次元化すれば、方程式は u_t′t′ − ∇′²u = 0 の形に簡約され、支配パラメータが境界条件・源項に限られることが分かる。尺度則はプロトタイプと模型の相似設計に有用である。

工学的応用

音響設計（室内音場・サイレンサー）、非破壊検査（TOF、フェーズアレイ）、地震学（P 波・S 波・表面波の到達時刻解析）、光通信（導波路・分散管理）、RF・アンテナ設計（インピーダンス整合、伝送線路）など、波動方程式は広範な工学分野の解析・設計の中核となる。逆解析では観測波形から媒質特性や欠陥位置を推定でき、実時間シミュレーションは制御・診断で重要性を増している。