解析力学｜最小作用の原理で運動を記述する理論

解析力学

解析力学は、ニュートン力学を「力とベクトル」ではなく「エネルギーと変分原理」で組み立て直した理論体系である。18世紀末にジョゼフ＝ルイ・ラグランジュが体系化し、19世紀前半にウィリアム・ローワン・ハミルトンが現在の形に近づけた。扱う物理現象はニュートン力学と同じだが、座標の選び方を自由にできること、拘束力を式から消去できることが大きな利点となる。量子力学や統計力学の土台であり、工学では産業用ロボットの動力学モデルや機械系の振動解析にも使われている。

ニュートンからラグランジュへ

出発点は1687年刊行の『プリンキピア』である。ニュートンの運動法則は強力だったが、滑車やひもでつながった物体、曲面上を転がる球のように拘束が複雑になると、未知の拘束力が増えて計算が手に負えなくなる。1744年、モーペルテュイが「自然は作用を最小にするように運動する」という最小作用の原理を唱え、同じ年にオイラーが変分法の数学的枠組みを整えた。これらを統合したのがラグランジュで、1788年の『解析力学（Mécanique analytique）』は図を1枚も載せていないことで知られる。幾何学的な作図に頼らず、計算だけで力学を記述するという姿勢がこの書名に込められている。

一般化座標と自由度

ニュートン力学では直交座標(x, y, z)で位置を表すのが普通である。解析力学では、系の配置を決めるのに最低限必要な数の変数を選び、これを一般化座標q₁, q₂, …, q_nと呼ぶ。変数の個数nがその系の自由度になる。平面上の単振り子なら、糸の長さが一定という拘束により直交座標2つは角度θひとつにまとまり、自由度は1となる。空間内の剛体は並進3と回転3で自由度6。角度でも長さでも、あるいはそれらを混ぜた量でもかまわない。この柔軟さこそが計算の手間を劇的に減らす。

ラグランジュ方程式

運動エネルギーをT、ポテンシャルエネルギーをVとして、ラグランジアンL = T − Vを定義する。運動は次のオイラー＝ラグランジュ方程式に従う。

d/dt ( ∂L / ∂q̇_i ) − ∂L / ∂q_i = 0　（i = 1, 2, …, n）

質量m、長さlの単振り子に当てはめてみる。L = (1/2)ml²θ̇² + mgl cosθを代入すると、ml²θ̈ + mgl sinθ = 0がすぐに得られる。糸の張力は一度も登場しない。スカラー量であるエネルギーを2つ書き下し、微分するだけで運動方程式が手に入るわけである。

拘束力が消える理由

背景にあるのは1743年にダランベールが示した原理で、拘束を破らない仮想変位に対して拘束力は仕事をしない、という考え方に基づく。なめらかな拘束（摩擦のない拘束）であれば、拘束力は方程式から自動的に抜け落ちる。摩擦を含む場合は散逸関数を別途導入する必要があり、レイリーが1873年ごろに提案した手法が今も使われている。

ハミルトン形式と正準方程式

1834年から1835年にかけて、ハミルトンは一般化座標q_iと、それに共役な一般化運動量p_i = ∂L/∂q̇_iを対等な独立変数として扱う形式を発表した。ハミルトニアンH = Σp_iq̇_i − Lを用いると、運動は1階の連立微分方程式で表される。

q̇_i = ∂H / ∂p_i　，　ṗ_i = −∂H / ∂q_i

これを正準方程式と呼ぶ。2階の方程式n本が1階の方程式2n本に置き換わり、(q, p)を座標とする2n次元の位相空間で運動を眺められるようになった。多くの系でHは全エネルギーに一致し、エネルギー保存則との関係もはっきりする。その後ヤコビが1840年代の講義で正準変換とハミルトン＝ヤコビ方程式を整備した。

三つの定式化の比較

同じ現象を記述していても、基本変数や得意分野はかなり異なる。

ネーターの定理と保存則

1918年、エミー・ネーターは対称性と保存則が一対一に対応することを証明した。ラグランジアンが時間の平行移動で変わらなければエネルギーが、空間の平行移動で変わらなければ運動量が、回転で変わらなければ角運動量が保存する。ある座標q_kがLに現れない場合、それを循環座標と呼び、対応するp_kはそのまま定数となる。保存則を「経験則」から「対称性の帰結」へと格上げした点で、この定理は20世紀物理学の柱のひとつに数えられる。

機械設計・ロボット工学での使われ方

製造業でもっとも身近な応用は、多関節ロボットの動力学計算である。6軸垂直多関節ロボットでは関節角6つを一般化座標に取り、ラグランジュ法で慣性行列・遠心力・コリオリ力・重力項をまとめて導く。とはいえ実務では使い分けがある。ラグランジュ＝オイラー法をそのまま数値計算すると演算量はおよそn⁴に比例し、1980年にホラーバックが指摘したように実時間制御には重い。そのため、コントローラーの1 ms前後の制御周期に載せる計算は、演算量がnに比例する再帰的ニュートン＝オイラー法で行い、設計段階の解析や制御工学的な安定性の検討にはラグランジュ形式の閉じた式を使う、という分担が一般的である。主な適用先は次のとおり。

• 産業用ロボットの逆動力学計算とトルク補償
• MSC AdamsやSimscape Multibodyなどによるマルチボディ動力学シミュレーション
• 工作機械の主軸・送り系の固有振動数の推定
• クレーンや搬送台車の荷振れ抑制制御の設計
• ジャイロやフライホイールを含む回転機械の安定性評価

現場でつまずきやすいのは、モデル化の段階で摩擦と減速機のバックラッシを無視してしまうことである。波動歯車装置を使う関節では減速比が50〜160程度と大きく、モーター側慣性の影響がアーム側慣性を上回る場合も少なくない。エネルギー式に入れ忘れると、シミュレーションと実機のトルク波形が大きくずれる。構造物の微小変形まで含めたいときは、有限要素法で求めたモード形状を一般化座標として取り込む手法も使われている。

量子力学と統計力学への橋渡し

ポアソンが1809年に導入したポアソン括弧は、ハミルトン形式の中で物理量の時間変化を簡潔に表す道具である。1925年、ディラックはこれを交換関係に置き換えることで、古典力学から量子力学への移行規則（正準量子化）を示した。1948年にはファインマンが作用積分を軸にした経路積分の方法を発表し、最小作用の原理は量子論の中で新しい意味を得た。統計力学では、位相空間の体積が時間とともに保存されるというリウヴィルの定理（1838年）が、熱平衡を論じる出発点として使われている。ラグランジュが図を1枚も使わずに書いた理論が、2世紀以上を経て物理学全体の共通言語となった。