材料の自重による伸び｜材料力学

材料の自重の伸び

材料の自重による伸びについて考察する。高いところに置かれた材料はその自重で変形を起こすことがある。荷重がかかる場合、いくらの荷重を支えることができるか、に加えて、自重がどの程度影響するのか（伸びるのか）を計算する必要がある。

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自重は下記の公式で表される。長さLが2乗で表される通り、長ければ長いほど不利になる。また、縦弾性係数が分母にある通り、縦弾性係数が大きければ大きいほど、伸びは小さくなる。伸びが許容範囲を超えるとき、Lを小さくするか、あるいは剛性の高い材料に変えるとよい。

自重の棒ののびを下記で説明していく。どの程度の荷重がかかるかをわからなければ、どの程度のびるかを見ることができないため、まずはそれを考察する。x地点の荷重を見たものであるが、体積に単位体積当たりの重さを掛けることでそれがわかる。

x地点の荷重がわかればフックの法則に当てはまることで、断面積と単位面積当たりの積で表されることがわかる。そのためxがもっとも長いとき、つまり、Lのときが最も応力が多きなることがわかる。

応力はひずみと縦弾性係数の積で表されることから、上の応力を代入することで、ひずみとの関係を見ることができる。

ひずみがわかれば、積分をすることで伸びを積分すると、自重の棒の伸びは下記で表すことができる。

二段になっている棒について考えるときが下記で表される。XとYについて、それぞれの自重による伸びを調べ、Xにはそれら加えてYの荷重による伸びが加わることになる。それらを合計すれば、全体の伸びがわかる。このようにすべての重さを合計することで重さをみることができる。