断面係数｜強度を決めるための係数

断面係数

断面係数（だんめんけいすう）とは、曲げ荷重を受ける部材において、その断面形状が曲げに対してどの程度の強度を有しているかを示す幾何学的な指標である。単位は主に立方ミリメートル（mm³）や立方メートル（m³）が用いられ、記号は一般的にZで表される。材料力学や機械設計の分野においては、構造物や機械部品が外力によって破壊されないよう適切な寸法を決定するための極めて重要なパラメータとして位置づけられている。部材の材質自体に依存せず、断面の形状と寸法のみによって定まる固有の性質を持つため、鉄やアルミニウムなど異なる材質の部品であっても、形状がもたらす強度を純粋に幾何学的な観点から比較評価することが可能である。この特性により、設計の初期段階における形状検討や最適なプロファイルの選定において、非常に有用かつ不可欠な指標となっている。

断面係数の定義と物理的メカニズム

断面係数は、はりに外から曲げ荷重が作用した際に内部に生じる最大曲げ応力を算出するための基準となる値である。はりに荷重が作用すると、部材内部には曲げモーメントが発生し、それに伴って断面の上部と下部にはそれぞれ反対の性質を持つ引張応力と圧縮応力が生じる。断面内で応力がゼロとなる基準の軸（中立軸）から、断面の最も外側の縁（最外縁）までの距離をeとし、図心の回りの断面二次モーメントをIとしたとき、断面係数Zは以下の式で厳密に定義される。

Z = I / e

この定義式からも明らかなように、外力による曲げモーメントをM、最大曲げ応力をσ_maxとした場合、σ_max = M / Zという単純な数式で部材内部に発生する最大応力を導き出すことができる。つまり、断面係数の値が大きい設計であるほど、同じ曲げモーメントを受けても部材内部に発生する応力はより小さく分散され、結果として曲げに対する強度が向上することを意味している。

基本形状の公式一覧

• 長方形断面（幅b、高さh）：Z = (b * h²) / 6
• 円形断面（直径d）：Z = (π * d³) / 32
• 中空円管断面（外径D、内径d）：Z = π * (D⁴ – d⁴) / (32 * D)
• 中実正方形断面（一辺a）：Z = a³ / 6
• 中空長方形断面（外形幅B、高さH、内形幅b、高さh）：Z = (B * H³ – b * h³) / (6 * H)

曲げ応力

曲げ応力は、曲げモーメント×中立面かからの距離に対して、断面二次モーメントで割ることで定義づけられる。断面二次モーメントは、断面係数は、断面二次モーメント×h/2で求められるため、断面係数が大きいほど、曲げ応力に強いことがわかる。

曲げモーメント

断面係数と断面二次モーメントの種類

代表的な形状の断面二次モーメントと断面係数を下記に示す。代表的な形状は、角材をベースにしたものと丸棒をベースにしたものとに二分される。

角材

丸棒

丸棒の直径の違いと断面係数

断面係数の違いによる曲げ応力の差

断面係数(断面二次モーメント)が異なると曲げ応力が異なる。下記では長方形の角材を縦に固定するか横に固定するかの違いを示している。我々の日常の感覚(たとえば、ものさし)のように縦にした方が曲げ応力に強いことがわかる。

丸棒と角材(正方形)の違い

丸棒と角材(正方形)が同じ長さの時の曲げ応力の違いを示している。断面係数を元にどちらがより曲げ応力に耐えうるかを示している。下記では比較しやすいように正方形をモデルにしたが、角材の形状や丸棒の半径などによって強さが異なる点は注意してほしい。

丸棒から角材を切り出すときの寸法を断面係数からみる

丸棒から角材を切り出したいとき、その寸法を断面係数から決める。まず、断面係数と三平方の定理からbとhで表す。

Zは微分して係数を導き出す。