分数量子ホール効果｜二次元電子の強相関と任意統計の物理

分数量子ホール効果

分数量子ホール効果は、強磁場下・極低温の二次元電子系でホール伝導度が整数ではなく有理数倍（ν＝p/q）として量子化される現象である。標準的なホール素子では磁束密度Bの増加に伴いホール抵抗が単調に増えるが、二次元電子ガスではローカライズと相互作用が効いて台地状のプラトーが現れ、σxy＝(e2/h)νとなる。整数量子ホール効果が一電子状態の充填（バンド的描像）で理解されるのに対し、分数量子ホール効果は電子間相互作用が本質であり、ラフリン状態などの「不可圧縮量子流体」が基底状態となる点に特徴がある。

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定義と基本式

ホール伝導度σxyが(e2/h)νに固定され、縦抵抗ρxxが極小化（理想的には零）する状態を指す。充填因子νは有効的に「占有されたランドー準位数」を表すが、分数量子ホール効果ではν＝1/3, 2/5, 3/7のような分数系列が観測される。プラトーは磁場やキャリア密度の変化に対して安定であり、これはバルクがギャップを持つ不可圧縮状態になっていることを示す。

歴史的背景とLaughlin波動関数

1982年、D.C.Tsui・H.L.Störmer・A.C.GossardがGaAs/AlGaAsヘテロ構造でν＝1/3のプラトーを発見した。1983年、R.B.LaughlinはJastrow因子を持つ波動関数を提案し、相互作用起源の不可圧縮流体を定量化した。ラフリン準粒子（クォジホール/クォジエレクトロン）は分数電荷e*＝e/qを持ち、磁束量子の貫入により生成される。この描像は分数量子ホール効果の基礎理論として広く受け入れられている。

トポロジカル秩序とChern数

分数量子ホール効果は対称性自発的破れだけでは特徴づけられない「トポロジカル秩序」を持つ。トーラス上の基底状態縮退、長距離もつれ、任意統計（anyon統計）などが現れる。多体ベリー位相のChern数によりσxyの量子化が与えられ、散乱に頑強なトポロジカル保護が輸送特性を安定化する。

二次元電子系とランドー準位

強磁場Bで電子はサイクロトロン運動を行い、エネルギーはℏωcで離散化される（ランドー準位）。準位の縮退度は面密度eB/hで与えられ、不純物によるローカライズにより拡がった状態と局在状態が分離する。相互作用が強い部分充填条件で、ラフリン状態や階層状態がギャップを開くことで不可圧縮化する。

フラクショナル電荷と任意統計

ショットノイズ測定やトンネル実験は、e/3などの分数電荷を支持する結果を与えてきた。擬粒子を交換・周回させたときに得られる位相は任意統計（Abelian/Non-Abelian）を示し、ボソンやフェルミオンには還元されない。特にν＝5/2ではMoore–Read型（Pfaffian）候補が提案され、非可換任意粒子の存在可能性が議論される。

エッジ状態と輸送

バルクがギャップを持つ一方、境界には一方向（chiral）のギャップレスエッジモードが走る。バルク–エッジ対応により、境界の有効理論はchiral Luttinger liquidで記述され、トンネル指数や電流–電圧特性に特有のべき乗則が現れる。量子化されたσxyと極小のρxxはこのエッジ伝導の安定性に由来する。

非可換任意粒子と量子計算

ν＝5/2などの非可換相では、準粒子の編み込み（braiding）がユニタリ演算として働き、局所摂動に頑強なトポロジカル量子計算の物理基盤となり得る。干渉計測や熱ホール伝導度の測定は、基底状態縮退やモード数の検証手段として注目される。

実験条件・材料系

  • 材料：高移動度GaAs/AlGaAsヘテロ接合、量子井戸、グラフェン、MoS2など。
  • 条件：T≲100 mK、B≳10 T、超低雑音配線と高感度計測。
  • 素子：ホールバー形状、ゲート制御によるキャリア密度調整。
  • 測定：ρxxの活性化挙動、ショットノイズ、干渉計。

理論枠組み：階層構造と複合フェルミオン

Haldane–Halperin階層は、分数充填で生じる準粒子凝縮を繰り返すことで系列ν＝p/qを説明する。一方、J.K.Jainの複合フェルミオン理論では、電子が偶数本の磁束を束縛した準粒子が有効磁場下で整数量子ホール状態を作る。これによりν＝n/(2pn±1)といった実験系列が統一的に理解できる。

エネルギーギャップ・不純物・スケーリング

プラトーの安定性は励起ギャップΔと不純物散乱の競合で決まる。Δは相互作用スケールe2/(4πϵℓB)に比例し、誘電率や磁長ℓB（∝B−1/2）に依存する。不純物ポテンシャルは局在状態を形成し、可動電子の帯域を狭めるが、適度なローカライズはむしろプラトー形成を助ける。

標準（IQHE）との比較

  • 起源：IQHEは一体問題、分数量子ホール効果は強相互作用が本質。
  • エキゾチック準粒子：IQHEには無く、FQHEでは分数電荷・任意統計が現れる。
  • トポロジカル秩序：IQHEはバンド位相で特徴づけられるのに対し、FQHEは多体トポロジカル秩序を持つ。

応用可能性

計測標準分野ではIQHEが主役であるが、分数量子ホール効果は任意統計に基づく新原理デバイス、とりわけトポロジカル量子計算の基盤候補として期待される。材料工学・微細加工・極低温技術の進展により、より高温・低磁場で安定な分数量子状態の創出が目指されている。

用語補足

充填因子νは有効磁束に対するキャリア数の比で定義される。ランドー準位の中心付近には拡がった状態が、裾には局在状態が分布し、これがプラトーの形成を支える。エッジに現れるchiralモードは散乱に強く、電流は主として境界を流れる。