モード解析
モード解析は連続体や多自由度系の振動挙動を、固有振動数とモード形状へ直交分解して理解・設計・診断に用いる手法である。線形時不変系に対し、運動方程式は質量行列M、減衰行列C、剛性行列Kにより記述され、固有値問題から得る固有対(M, K)の固有値が自然振動数、固有ベクトルがモード形状となる。これにより複雑な応答は少数の支配モードの重ね合わせとして解析でき、共振回避、補剛・減衰設計、異常診断、音振動低減などに資する。
目的と意義
モード解析の主目的は、(1)支配的な固有振動数とモード形状の同定、(2)設計パラメータが振動に与える感度の把握、(3)外力入力に対する応答の低次元モデル化である。これにより試作削減、騒音・疲労対策の早期化、故障予兆検知など、製品開発のQCD向上に直結する。
基本理論
無減衰自由振動はMẍ+Kx=0で表され、x=ϕe^{iωt}を仮定すると(K−ω²M)ϕ=0の一般化固有値問題となる。固有ベクトルはM直交性ϕᵢᵀMϕⱼ=0(i≠j)を満たし、任意外力f(t)への応答はモード座標qᵢ(t)の重ね合わせx(t)=∑ϕᵢqᵢ(t)で表せる。比例減衰ならC=αM+βKとし、モード空間で独立な1自由度に分解できる。
固有値問題の数値解法
大規模FEMでは低次モード抽出にLanczos法やサブスペース反復法、シフト反復が用いられる。広帯域が必要ならARPACK系、部分構造化にはCMS(コンポーネントモード合成)が有効である。正定値性の活用、前処理付反復解法、縮約により計算効率と精度の両立を図る。
実験モード解析
実機では加振器やインパクトハンマで入力し、加速度計やレーザ振動計で応答を取得する。周波数応答関数H(ω)=X(ω)/F(ω)を多数点で測定し、曲線適合で固有振動数、減衰比、モード形状を同定する。SISO/ MIMO、直交化、リファレンス移動など計画が精度を左右する。
周波数応答関数と同定
FRFには加速度/力、速度/力、変位/力などがある。ピーク位置が固有振動数、半値幅から減衰比ζを推定できる。多モード重なり時はポール–ゼロ表現や最小二乗適合、全帯域同定(PolyMAX)、時間領域の自由減衰フィット(Prony、ESPRIT)が有効である。
数値モード解析
FEMによる数値モード解析では、材料特性、拘束境界、接触/締結のモデル化が鍵である。メッシュ密度は目標周波数の波長に基づき設定し、高周波ではシェル/ビーム要素を併用する。試験値との相関は材料E、密度ρ、締結剛性などの調整で行う。
モデリングの要点
ボルト締結はバネ・ダンパで線形化し、グリースやガスケットは周波数依存減衰を与える。ケーブルや配管は付加質量・拘束の変化源である。均質化やサブモデル化で規模を抑え、剛体モードの拘束漏れや質量過小評価に留意する。
減衰の取り扱い
比例減衰は解析容易だが、摩擦・接触を含む非比例減衰ではモード間連成が残る。モーダルダンピング(各モードにζᵢ付与)は経験則として有効で、試験値から同定した帯域別ζを割り当てると現実に近づく。材料損失係数ηとの換算も用いる。
測定と同定の手順
- 解析目標の周波数帯と評価点を計画する。
- センサ配置と加振点を可観測性・可制御性で決める。
- ウィンドウ、平均化、FFTライン数を設定しFRF取得。
- 曲線適合で固有値・減衰・モード形状を同定。
- MACやコヒーレンスで品質確認し、更新に反映する。
応用例
自動車NVH、工作機械びびり抑制、建築・橋梁の耐風・耐震評価、HDDや精密装置の微振動制御、家電の共振騒音低減などでモード解析は中核となる。支配モードの質量参加率や節位置を手掛かりに、補剛・質量配置・制振材配置を最適化する。
品質評価と検証
実験・解析相関にはMAC(Modal Assurance Criterion)が用いられ、1に近いほど一致する。FRFコヒーレンスγ²は0.8以上を目安に信頼度を判断する。形状整合には座標変換やモーダル拡張(SVD)を使い、境界条件差の影響を切り分ける。
制約と限界
線形小振幅仮定ゆえ大変位・非線形摩擦では適用外となる場合がある。狭い支持周波数帯ではモード分離が難しく、密集モードでは曲線適合が不安定になる。温度・締結ばらつきも固有値を変動させるため、ロバスト設計が求められる。
実務上のコツ
- 設計序盤は低次3〜5モードの質量参加率で方針を決める。
- 節線に減衰材を置かず、腹に配置して効果を稼ぐ。
- 治具・固定具の剛性を把握し、試験と解析で統一する。
- MIMO加振でモード重なりを分離し、漏れ・エイリアシングを抑える。
- 変更設計はモーダル縮約モデルで迅速に感度評価する。