ローレンツ力｜荷電粒子に働く電場・磁場の力

ローレンツ力

ローレンツ力は、電荷をもつ粒子が電場および磁場から受ける力を指す電磁気学の基本概念である。速度をもつ電荷に磁場があるとき、力は速度と磁束密度の外積方向に生じ、電場があれば速度に依存せず電荷の符号に応じて直線的に作用する。記号で書けば F = q(E + v × B) であり、ここで F は力、q は電荷、E は電場、v は粒子速度、B は磁束密度である。この式は静電力と磁気力を統一的に扱い、荷電粒子の運動、電子回路内のキャリア挙動、プラズマ、加速器物理など広範な現象を記述する核となる。

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ローレンツ力

定義と基本式

ローレンツ力の基本式 F = q(E + v × B) は、電場による力 qE と磁場による力 q(v × B) の和として解釈する。q が正であれば E と同方向、負であれば反対方向に静電力が働く。一方、磁気力は v と B に垂直な方向に現れ、速度の大きさに比例し、速度成分が磁場に平行であってもその成分には力が働かない。したがって磁気力は粒子の運動軌道を曲げるが、速さの大きさ自体は変えにくいという性質をもつ。

単位系と物理量

SI では E の単位は V/m、B は T、q は C、v は m/s である。v × B の次元は (m/s)・T = N/(C) に一致するため q(v × B) は N の次元となり、式全体の整合性が取れる。電荷の符号は重要で、電子のような負電荷では力の向きが逆転する。

右手則と力の向き

磁気力の向きは右手則で決まる。右手の人差し指を v、中指を B、親指を力の向き F とすると、正電荷の向きが得られる。負電荷では親指の向きが反転する。直感的には、磁場は運動する電荷の進行方向を曲げる「向心的な作用」を与える。

運動方程式とサイクロトロン運動

ニュートン方程式 m dv/dt = q(E + v × B) を用いると、E = 0 かつ v ⟂ B の場合、等速円運動が生じ、角速度は ω = qB/m、半径は r = mv/(qB) となる。これは荷電粒子のサイクロトロン運動であり、質量分析装置や加速器設計で基本となる。E が同時に存在する場合にはドリフト速度 v_D = E × B / B² が現れ、粒子群は等速で横方向へ移動する。

仕事とエネルギー

磁気力 q(v × B) は常に速度 v に垂直であるため、瞬間仕事 v・F は 0 となり運動エネルギーを変えない。一方、電場による qE は速度と平行な成分をもち得るため、粒子の運動エネルギーを増減させる。よってエネルギー制御は主に電場、軌道制御は主に磁場が担うという役割分担が明瞭である。

相対論的視点（補足）

ローレンツ力は特殊相対論に整合的で、観測者の慣性系によって E と B が混合変換される。4元形式では電磁場テンソルと4元速度の収縮で表され、非相対論極限で F = q(E + v × B) に還元する。この見方は高エネルギー加速器やプラズマ物理で有用である。

典型例

電子の円運動：均一 B 中で初速 v の電子は半径 r = mv/(|q|B) の円軌道を描く。
導体棒の運動起電力：B 中を速度 v で動く長さ L の導体には端子間に起電力 ε = BLv が生じる。
ホール効果：電流と B の直交配置で横方向電圧が生じ、キャリア符号・濃度測定に用いられる。

境界条件と連続体への拡張

導体内の自由電子やプラズマを連続体として扱うとき、荷電密度 ρ と電流密度 J を用いた体積力密度 f = ρE + J × B を用いる。流体運動方程式に組み込めば磁気流体力学(MHD)の基礎式となり、核融合プラズマの平衡や電磁ポンプ設計などに応用できる。

測定・設計上の注意

数値計算では時間刻み Δt が小さすぎると丸め誤差が顕在化し、逆に大きすぎるとラーマー軌道の位相誤差が蓄積する。半陰解法やシンプレクティック積分を用いると長時間安定性が向上する。実験では stray B、E のシールド、電荷の空間電荷効果、衝突散乱、放射損失（相対論的電子）を見積もることが重要である。

ローレンツ力｜荷電粒子に働く電場・磁場の力