モンテカルロ
モンテカルロは乱数サンプリングによって数値積分・最適化・確率的評価を行う計算手法の総称である。解析解が得にくい高次元積分や複雑形状、非線形・不確かさを含む工学モデルに広く用いられる。サンプリング数を増やすことで推定誤差が減少する漸近的性質を持ち、モデルのブラックボックス性を前提としても適用できる柔軟性が特徴である。一方で計算コストは大きく、乱数の品質、分散削減、収束判定などの実務上の工夫が精度と効率を左右する。
定義と位置づけ
モンテカルロは確率変数の標本を生成し、期待値や確率、性能指標を標本平均として推定する。標本平均は大数の法則により真値へ収束し、中心極限定理により誤差は概ね正規近似できる。数値解析では離散化誤差に依存しない「次元呪い」に強い積分法として位置づけられる。
基本手順
- 入力不確かさの確率モデル化（分布選定とパラメータ同定）
- 乱数（擬似乱数/準乱数）による標本生成
- モデル評価（シミュレーション/実験代替モデル）
- 指標の推定（平均・分散・分位点・失敗確率）と信頼区間算出
- 収束判定とサンプルサイズ更新
確率分布と乱数生成
現象に応じて正規、対数正規、ワイブル、ガンマ、三角、ベータ、経験分布などを用いる。単純な変換法、逆関数法、棄却法、合成法を用いて標本化する。相関を再現するにはコピュラや多変量正規のコレスキー分解を用いる。
収束と誤差評価
標本平均の標準誤差は概ねσ/√Nで減少する（σは対象量の標準偏差、Nはサンプル数）。95%信頼区間は平均±1.96×標準誤差で近似できる。目標精度εに対し必要サンプルはN≈(1.96σ/ε)²で見積もる。
停止基準の設計
逐次的に信頼区間幅が要求値を下回った時点で停止する。バッチ平均法で分散を安定推定し、過少評価を避ける。
分散削減法
- ストラティファイドサンプリング：分層抽出で分散を低下
- 共分散削減（コントロールバリアット）：相関の高い既知平均量を利用
- アンチテティック法：反対符号の乱数対でキャンセル効果
- 重要サンプリング：希少事象に質量を寄せて推定効率を上げる
- 多重忠実度：粗モデルと精密モデルを組み合わせ計算量を削減
応用：工学・物理・金融・品質
信頼性解析では限界状態関数g(X)の符号で失敗確率P(g≤0)を推定する。電子回路では素子公差や温度ばらつきによる性能分布を評価し、EMIやジッタの確率的指標を算出する。熱・流体では境界条件の不確かさを組み込んだ性能予測、材料では強度分布を用いた安全率評価に活用する。放射輸送や中性子拡散の粒子追跡もモンテカルロの古典的応用である。金融ではデリバティブ評価やVaR/ES推定に広く用いられる。
MCMCとベイズ推定
マルコフ連鎖モンテカルロ（MCMC）は複雑な事後分布からのサンプリングを可能にする。Metropolis–Hastings、Gibbs、HMCなどが代表例である。収束診断にはR̂（Gelman–Rubin）、自己相関、効果サンプルサイズ（ESS）を用い、バーンイン除去とシンニングで依存性を調整する。
事後予測と不確かさ伝播
MCMC標本を用いて事後予測分布やベイズ信用区間を構成し、モデル・パラメータ不確かさを下流の性能指標へ伝播させる。
準モンテカルロ（Quasi-Monte Carlo）
低偏差系列（Sobol、Halton等）でサンプリングの空間被覆を改善し、誤差をO((log N)^d/N)近傍にまで改善し得る。高次元では効果が弱まるため、感度解析で有効次元を下げ、スクランブリングでバイアスを抑える。
感度解析と寄与度
Sobol指標や分散分解を用いて入力因子の寄与度を定量化する。スクリーニングにはMorris法、グローバル感度にはSobol法やFASTを用いる。重要度の高い因子に計算資源を重点配分する設計が有効である。
希少事象推定
失敗確率が10⁻⁶級などの希少事象では単純サンプリングは非効率である。重要サンプリング、Subset Simulation、Cross-Entropy法を用いて効率よく尾部確率を推定する。
実装の要点
- 乱数：長周期・高次元均一性を持つ擬似乱数（MT、xoshiro等）と適切なシード管理
- 再現性：シード固定、乱数ストリーム分割、ログ保存
- ベンチマーク：既知解や小規模問題で検証し、分散削減の効果を定量化
- 並列化：独立サンプルに適したデータ並列、MCMCではチェーン並列
- 近似モデル：サロゲート（GP/RBF/NN）で高価な評価関数を置換し、適応的に補間点を追加
品質保証とドキュメンテーション
入力分布の仮定、相関構造、サンプリング戦略、停止基準、信頼区間の定義、コードと依存関係、乱数シード、計算資源、結果の再現手順を明示的に記録する。これによりレビューや監査に耐えるモンテカルロ解析ワークフローとなる。
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