周波数応答
周波数応答とは、線形時不変系に正弦波を入力したときの定常出力の振幅比と位相差を、周波数ごとに整理した特性である。電子回路、機械振動、音響、制御工学など幅広い分野で系のダイナミクスを把握する基本指標となる。入力が単位正弦波でも、周波数により出力の増幅・減衰や位相の遅れ・進みが異なるため、周波数応答を用いると、共振、減衰、帯域幅、安定余裕などの設計上の重要点を可視化できる。測定では掃引正弦、擬似ランダム、インパルス励振などが用いられ、解析ではフーリエ変換と伝達関数の枠組みで表現する。
定義と基本式
連続時間の伝達関数をH(jω)=Y(jω)/X(jω)とおくと、振幅特性は|H(jω)|、位相特性は∠H(jω)である。これが周波数応答の定義であり、時間応答の畳み込みが周波数領域では乗算になる性質を活用する。インパルス応答h(t)のフーリエ変換がH(jω)であり、ステップ応答や過渡応答の形状も背後ではこのH(jω)により支配される。
時間領域との関係
時間領域での微分・積分は、周波数領域ではそれぞれjω倍・1/(jω)に対応する。したがって、微分器は高周波でゲインが上がり、積分器は低周波を強調する。これは周波数応答の傾き（dB/dec）に直結する。
指標：ゲイン・位相・群遅延
ゲイン特性は振幅倍率（多くはdB表記）、位相特性は出力の遅れ・進みを示す。さらに群遅延τ_g(ω)=-d∠H/dωは、信号包絡の遅れを表し、音響や通信で重要である。共振周波数、帯域幅、カットオフ、品質係数Qは、周波数応答から直接読める設計指標である。
表現法：ボード線図とナイキスト線図
ボード線図は、横軸を対数周波数、縦軸をゲイン（dB）と位相（deg）で描く標準図で、低次要素の近似直線が積み重なるため解釈しやすい。ナイキスト線図はL(jω)の複素平面軌跡で、安定判別や余裕評価に適する。いずれも周波数応答の視覚化手法である。
ボード線図の読み方
- 折点周波数で傾きが±20 dB/dec単位で変化する。
- 極はゲインを下げ位相を遅らせ、零はゲインを上げ位相を進める。
- 低周波・高周波の漸近特性から、定常偏差やノイズ感受性を推測できる。
ナイキスト線図の要点
開ループ伝達関数L(jω)が-1+j0点をどのように取り囲むかが閉ループ安定性を決定する。ゲイン余裕・位相余裕は、この軌跡と臨界点との距離関係として解釈できる。
機械系におけるFRF
構造振動では、周波数応答関数（FRF）が用いられる。代表的な受動特性は、変位受容度X/F（レセプタンス）、速度モビリティV/F、加速度アセプタンスA/Fである。実務では測定ノイズに対して推定器H1（出力ノイズに強い）、H2（入力ノイズに強い）を使い分ける。
共振・減衰とモード
FRFのピークは固有モードを示す。半値幅法により減衰比ζを推定し、ピーク間隔・形状からモード間の連成や剛性・質量分布の影響を読む。モード解析と周波数応答は密接に結びつく。
実測手法と注意点
実験では、掃引正弦（sine sweep）、疑似ランダム、マルチサイン、インパクトハンマがよく使われる。計測系は加速度計、力センサ、アンプ、A/D、解析器で構成し、アンチエイリアスフィルタを必ず入れる。リーケージ、量子化、飽和などは周波数応答を歪めるため、入出力レンジとサンプリング設計が重要である。
ウィンドウと平均化
定常入力にはHanning、インパクトにはExponentialなど、目的に応じたウィンドウを選ぶ。アンサンブル平均・周波数平均で分散を下げ、コヒーレンスγ²(ω)で入出力の線形相関を監視する。γ²≈1であれば周波数応答の信頼性が高い。
制御設計との関係
閉ループの性能は周波数応答で整形できる。PIDの位相進み・遅れ配置、ロバスト制御の感度整形、モデル予測制御の帯域設計など、ボード線図上で目標ゲイン・位相を設計する手法が実務で有効である。ゲイン余裕・位相余裕は不確かさに対する保守度の指標である。
外乱抑圧と感度関数
感度S(jω)=1/(1+L(jω))、相補感度T(jω)=L/(1+L)は、低周波外乱抑圧と高周波ノイズ抑制のトレードオフを定量化する。周波数応答上でのゼロ・極の配置や帯域幅の選択が、干渉抑制と追従性のバランスを決める。
デジタル信号処理における周波数応答
FIR/IIRフィルタの周波数応答は、H(z)に対しz=e^{jωT}を代入して得る。実データからは、入力出力のFFTでFRFを推定し、ノイズや漏れに配慮して平均化・窓関数・ゼロパディングを適用する。
サンプリングとエイリアシング
標本化周波数f_sの半分がナイキスト周波数であり、これを超える成分はエイリアシングを生む。ZOHの影響や双一次変換の周波数ワーピングを考慮して、離散系の周波数応答を連続系仕様へ適切にマッピングする。
規模設計と実務のヒント
- 計測前に目標帯域・分解能・所要時間（平均回数）を決め、FFT長と周波数分解能を整合させる。
- アクチュエータのストローク・電流上限を見積もり、非線形領域を避ける。
- 温度・プリロード・取付け条件は周波数応答を大きく変えるため再現性を確保する。
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