回転運動｜角速度・慣性モーメントの基礎と応用

回転運動

回転運動とは、物体がある固定軸または瞬間中心のまわりに角度を変えて運動する現象である。点ではなく延長をもつ剛体の運動として扱う場合、角位置θ（rad）、角速度ω（rad/s）、角加速度α（rad/s²）を用いる。円軌道に沿う移動量は弧長s=rθ、接線方向速度はv=rω、接線加速度はa_t=rα、向心（法線）加速度はa_n=v²/r=rω²で表される。周期Tと周波数fの関係はω=2πfであり、運動エネルギーや角運動量、トルクなどの力学量は回転運動の設計・解析に不可欠である。

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回転運動

基本概念と記法

角位置・角速度・角加速度：角位置θは回転の位相を示し、時間微分で角速度ω=dθ/dt、さらに微分で角加速度α=dω/dtとなる。
接線量と法線量：円半径rに対し、接線速度v=rω、接線加速度a_t=rα、法線加速度a_n=rω²である。これにより回転運動の局所的な加速度場が得られる。
周波数表現：周期T=1/f、角速度はω=2πfで往復機械やモータの定格回転数（min⁻¹）と相互換算できる。

剛体の回転とエネルギー

剛体の回転運動では、慣性モーメントIが中心的役割を果たす。点質量mが軸から距離rにあるときI=mr²、連続体ではI=∫r²dmで定義される。主軸まわりの角運動量はL=Iω、回転エネルギーはE_rot=½Iω²である。外力矩（トルク）τが作用すると、固定軸まわりではτ=Iαが成り立ち、角速度の時間変化を決める。一般剛体ではベクトル表式τ=dL/dt+ω×Lが有効で、主慣性軸に沿う運動の安定条件や歳差運動の理解に資する。

平行軸の定理と垂直軸の定理

重心Gまわりの慣性モーメントI_Gが既知で、軸が並行に距離dだけ離れる場合、平行軸の定理によりI=I_G+Md²（Mは総質量）となる。薄い平板の回転運動では垂直軸の定理が有用で、同一平面内の直交軸x・yの慣性モーメントの和が板に垂直なz軸の慣性モーメントに等しい（I_z=I_x+I_y）。これらは断面形状変更や軸ずれ時の再計算に不可欠である。

運動方程式と仕事・エネルギー

トルクと角加速度：固定軸ではτ=Iα。時間積分により角速度や角変位を得る。
仕事と出力：回転角dθに対する微小仕事はdW=τdθ、ゆえに回転出力はP=τωで表せる。モータやタービンの定格評価に直結する。
力のつり合い：定常円運動では向心力F=m r ω²を必要とし、これが不足すると振れ・軸ぶれ・共振の誘因となる。

円運動の加速度と力学的意味

円運動の加速度は接線成分a_t=rαと法線成分a_n=rω²の合成である。a_nは常に中心向きで、ベアリングやハウジングに反力を生じ、回転体支持系の寿命・発熱・騒音に影響する。高ω領域での回転運動ではa_nが支配的になり、剛性やバランスの重要度が増す。

ジャイロ効果と角運動量保存

外力矩が微小なとき角運動量は近似保存され、対称回転体は歳差運動を示す。単純化すれば歳差角速度Ω≈τ/|L|で、IMU、反動ホイール、ジャイロスタビライザなどの設計指針となる。操縦性や姿勢制御では、回転運動のLベクトルの向きと大きさを制御することが本質である。

実務設計の要点

アンバランス補正：質量偏心eがあると遠心力M e ω²が発生する。一次・二次アンバランスを現場バランスや試験機で是正する。
クリティカルスピード：軸−ロータを単自由度近似すると固有角速度ω_n≈√(k/m)。回転数n_cr≈(1/2π)√(k/m)を回避する速度計画が必要である。
軸受選定：荷重・回転数・温度を満たす接触型/非接触型を評価し、潤滑・熱管理で回転運動の安定化を図る。
トルクリップル・ねじり振動：ギア・モータの脈動を慣性体（フライホイール）やダンパで平滑化する。

安全と規格の観点

ガードカバー、キー溝・締結部の強度、最高回転時の破断余裕、バランス等級などを規格群に照らして確認する。高速回転運動は小欠陥が致命傷になりやすく、非破壊検査や過速度試験が要点となる。

測定・センサと単位

角速度・角度計測：エンコーダ（インクリ/アブソリュート）、タコジェネレータ、光学・磁気式センサ。
トルク計測：ねじり軸のひずみゲージ式や磁歪式でτを取得し、P=τωで出力を算出する。
姿勢・角速度：MEMSジャイロや慣性計測装置で回転運動のダイナミクスを観測する。
単位系：角度rad、角速度rad/s、角加速度rad/s²、トルクN·m、慣性モーメントkg·m²を用いる。

典型例と工学応用

電動機ロータ、タービン、遠心ポンプ・圧縮機、フライホイール、旋盤チャック、光ディスク、プロペラ、反応車輪などは回転運動の代表例である。車輪の転がりでは回転に並進が重畳し、接地点近傍の瞬間速度が0となる純転がり条件（すべりなし）が成立する。材料強度・疲労・熱の統合設計が信頼性を左右する。

すべりと転がりの違い

すべりを伴うと摩擦損失と発熱が増大し、効率と寿命を低下させる。純転がりは接線方向の相対速度がゼロで、ベアリングや歯車の高効率化に寄与するが、潤滑条件や面粗さ管理が前提となる。