境界要素法（BEM）
境界要素法は、偏微分方程式で表される場の問題を境界上の積分方程式に変換して解く数値解析手法である。領域内部を細分化する有限要素法に対し、境界のみを要素分割すればよい点が特徴であり、無限・半無限領域のように外側へ広がる問題で効率を発揮する。特に音響散乱、弾性静解析、電磁場、熱伝導の定常問題などで有効であり、境界条件を高精度に満たしやすい。実装には基本解（グリーン関数）や境界積分の数値処理が要点となり、特異積分や密行列の扱いが技術的な焦点となる。BEMは理論・実装の双方で学習コストがあるが、適切に用いればメッシュ生成や自由度の低減に大きな利点をもたらす。
基本概念
境界要素法の出発点は、支配方程式（ラプラス方程式、ポアソン方程式、ヘルムホルツ方程式、弾性方程式など）に対応する基本解の利用である。基本解を用いてグリーンの定理を適用すると、場の量は境界上の未知量と既知境界条件の畳み込みとして表され、境界積分方程式が得られる。未知は境界上のポテンシャルやフラックス（弾性なら変位や表面力）となり、連続体内部の自由度は境界上の自由度へと縮約される。これによりBEMは「次元の削減」を実現し、2次元問題は1次元境界、3次元問題は2次元境界の離散化で済む。
理論的背景
境界条件はディリクレ型、ノイマン型、ロビン型などを柔軟に扱える。直接法では境界上の物理量そのものを未知とし、間接法では境界に分布する仮想密度（双極子・単極子密度など）を未知として定式化する。核関数は基本解に起因して特異性を持つため、数値積分では特異性の除去や座標変換、解析的積分の併用が必要である。非線形項や体積熱源などの体積寄与を扱う場合は、追加の体積積分や近似（双対レシプロシティ法など）で境界上の未知へ帰着させる工夫を行う。
離散化とアルゴリズム
境界は線要素（2D）や面要素（3D）に分割し、形状関数で物理量を近似する。離散化は配置（コロケーション）法またはガレルキン法が一般的である。得られる影響係数行列は核関数の非局所性により密行列となり、ナイーブには計算量・記憶量が大きくなる。これを抑えるため、ファストマルチポール法（FMM）やH-行列、低ランク近似による高速化が用いられる。近年は反復解法と前処理を組み合わせて大規模境界要素解析を実現する実装が主流である。
特異積分への対処
自己要素の特異核に対しては、特異性の等価変換、部分区分積分、Duffy変換、解析的評価などを組み合わせる。弱特異・強特異で手法が異なり、精度と実装複雑性のバランスが求められる。曲面要素ではパラメトリック座標での変換が有効であり、幾何の滑らかさ（C0/C1連続）も数値精度に影響する。
適用分野
- 音響散乱・放射：無限域の放射条件を自然に満たせる点が強みである。
- 弾性静解析・接触：表面力や変位の直接解が得られ、クラック先端の特異場評価にも適する。
- 電磁場・静電場：ラプラス・ヘルムホルツ型に基づく境界定式化が有効である。
- 熱伝導（定常）：境界熱流束・温度の関係を高精度に扱える。
- 流体（ポテンシャル流）：渦度が小さい領域で効率を発揮する。
利点と限界
- 利点：自由度削減、境界条件の厳密な取り扱い、無限領域処理の容易さ、き裂先端特異性の表現力。
- 限界：基本解の事前知識が必要、密行列の計算負荷、強非線形・強流体慣性など体積寄与の大きい問題では拡張が必要。
無限領域問題への適性
放射条件や減衰条件を境界積分の核に内包できるため、音響・電磁の外部問題でメッシュの広域化が不要となる。これはBEMの代表的な強みであり、FEMで必要となる人工境界やPMLの設計が簡素化される。
非線形問題への拡張
材料非線形や大変形のように体積に非線形性が分布する場合、境界のみの定式化は困難となる。ここでは体積積分項を近似して境界へ写像する手法や、FEMとBEMのハイブリッド化（境界近傍をBEM、内部をFEM）が現実解となる。接触やき裂進展では、局所領域の再離散化コストが低いことが利点となる。
メッシュ生成と品質管理
境界のみを要素化するため、CADからの曲面取り込みと要素品質の確保が重要である。曲率に応じた要素サイズ制御、角部の細分化、法線一貫性の維持は解の安定性に直結する。収束検証では要素サイズの系列化、近接境界間の数値安定性評価、既知解・解析解との比較を行う。特にBEMでは近接境界の相互作用が数値的に敏感であり、積分精度の向上や特異処理の改善が効果的である。
数値実装の実務ポイント
- 核関数の安定評価：遠方・近接で式を切り替える分割評価が有効である。
- 前処理と反復解法：GMRES等とブロック前処理、H-行列前処理で大規模化に対応する。
- 高速化：FMMや適応的低ランク分解でO(N2)を事実上低減する。
- 検証：単純形状の基礎問題（球・円柱）での比較により、核・積分・離散化のバグを早期発見する。
関連手法と位置づけ
有限要素法、有限差分法、境界要素法は相補的な関係にある。内部に体積源や非線形性が卓越する場合はFEMが、外部散乱や無限領域ではBEMが有利となる。実務では、外部領域をBEM、内部の複雑非線形をFEMで扱う連成が現実的である。データ交換には境界節点の整合、インターフェース条件の安定化、反復連成アルゴリズムの収束管理が要諦となる。
適用時の留意事項
問題設定の初期段階で支配方程式と基本解の可用性を確認し、境界条件の妥当性を精査する。特異性を孕む幾何（尖り、エッジ、き裂）では要素分布を工夫し、近接境界の積分精度を優先して設計する。計算資源面では密行列のスケーリングに注意し、必要に応じて高速化手法を導入する。これらの方針を徹底することで、BEMは高精度かつ効率的な境界値問題ソルバとして機能する。