積分恒等式｜変数変換と対称性で導く等式群

積分恒等式

積分恒等式とは、定積分や重積分、線積分・面積分などに関する一般性の高い等式であり、関数の滑らかさや領域の性質といった前提の下で常に成り立つ関係式である。微積分の基本定理、部分積分、置換積分、Fubini の定理、Green・Gauss・Stokes の定理、さらに Fourier/Laplace 変換における等式群は、解析学の基礎をなすだけでなく、熱・流体・電磁気・構造力学など工学各分野のモデル化と計算に直接利用される。これらは証明の有無にかかわらず形だけを暗記するのではなく、成立条件と意味を理解して使うことが重要である。

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積分恒等式

定義と位置づけ

積分恒等式は、微分方程式の解の表現、保存則の導出、エネルギー評価、不等式評価などに用いられる。代表例は「∫_a^bf′(x)dx＝f(b)−f(a)」に始まり、積分の計算手順を与えるだけでなく、境界項や対称性を通じて物理量の流出入を結び付ける役割を持つ。測度論の枠組み（Lebesgue 積分）を前提にすれば、可積分性や極限操作の交換について厳密に議論でき、Fubini・Tonelli の定理などの一般化も自然に位置づく。

代表的な恒等式（一次元）

微積分の基本定理：∫_a^b f′(x)dx＝f(b)−f(a)。連続関数の原始関数の変化量を与える。
部分積分：∫ u dv＝u v−∫ v du。微分作用を移すことで境界項が現れる。
置換積分：g が単調で微分可能なら ∫_a^b f(g(x))g′(x)dx＝∫_g(a)^g(b) f(t)dt。
Fubini/Tonelli：可積分条件の下で ∫∫ f(x,y)dxdy＝∫∫ f(x,y)dydx。反復積分の順序交換を正当化する。
Cauchy–Schwarz：|∫ f g| ≤ (∫|f|²)^1/2(∫|g|²)^1/2。内積空間 L² における基本不等式。
Young の畳み込み不等式：‖f*g‖_r ≤ ‖f‖_p‖g‖_q（1＋1/r＝1/p＋1/q）。信号処理や PDE の評価に有効。

記号と表記

本稿では ∫ は定積分、∮ は閉曲線積分、∬・∭ は重積分、div・curl・∇ はベクトル解析の基本演算子を表す。境界 ∂Ω 上の法線ベクトルは n、体積要素は dV、面要素は dS、線要素は dr とする。

多変数とベクトル解析における恒等式

積分恒等式の威力は多変数で顕著である。Gauss の発散定理は ∭_Ω div F dV＝∯_∂Ω F·n dS と表され、体積内の発散（源・吸い込み）の総量が境界からの流束と等しいことを与える。Stokes の定理は ∮_C F·dr＝∬_Σ (curl F)·n dS として、回転の面積分と周回積分を結ぶ。Green の第一・第二恒等式は、∬ (∇u·∇v) dΩ＝∮ u ∂v/∂n dS−∬ u Δv dΩ などの形で境界値問題の基礎を与え、エネルギー評価や唯一性の証明に直結する。

境界条件と向き

これらの等式は、境界が十分に滑らかで、法線の向きや曲面の向きが右ねじ規則に従って整合することが前提である。離散化（有限要素/有限体積）では、要素境界上の流束の釣り合いを課すことで数値的に同等の関係を満たす。

変換積分に関する恒等式

Fourier 変換では Plancherel の等式により ∫|f(x)|²dx＝(1/2π)∫|F(ω)|²dω が成り立ち、エネルギー保存を保証する。畳み込み定理 𝔉{f*g}＝𝔉{f}·𝔉{g}、微分の定理 𝔉{f′}＝(iω)F(ω) は線形系解析の柱である。Laplace 変換では 𝓛{f′}＝sF(s)−f(0+) により初期値が境界項として現れ、伝達関数表現に接続する。これらは偏微分方程式の基本解や Green 関数の導出、安定性解析にも用いられる。

工学での活用例

熱伝導方程式では、発散定理により領域内の発熱と境界の熱流束が結ばれるため、材料の熱収支を積分形で評価できる。流体では連続の式から、体積積分と面積分の等価性を通じて質量保存を検証する。構造力学では、部分積分（弱形式）により剛性行列の対称性やエネルギー最小原理が現れ、有限要素法の基礎となる。信号処理では、畳み込み定理と Cauchy–Schwarz によりフィルタの利得やノイズ抑制効果の上限が見積もれる。締結体の応力評価でも、境界上の応力ベクトルの面積分が内部の力学量と一致する等式が設計の検算に有効である（例えばボルト締結部の荷重伝達の評価）。

成立条件と注意点

積分恒等式は無条件に成り立つわけではない。代表的な前提は次のとおりである。

正則性：関数が連続・可微分、または Sobolev 空間に属するなど、必要な滑らかさを満たす。
可積分性：Lebesgue 可積分（L¹）や二乗可積分（L²）など、定理ごとのノルム条件を満たす。
領域の性質：境界が分割可能で外向き法線が定義できること（Lipschitz 領域など）。
極限操作：支配収束定理や一様可積分性により、積分と極限の交換を正当化する。
単位・次元：物理量では境界項の次元が体積項と一致するようモデル化する。

数値積分と誤差

台形則・Simpson 則・Gauss 求積などの数値積分は、厳密な恒等式を近似する。格子幅や求積点の選択は境界項の再現性に大きく影響するため、メッシュ収束や残差評価で検証することが望ましい。特異点や境界層を含む場合は要素分割を細かくし、適切な重み関数を用いた弱形式で安定化する。