剛体系
剛体系とは、構成する各剛体内の任意の2点間距離が時間に対して不変であると仮定し、変形を無視して運動と力の伝達を扱う力学モデルである。機械設計、ロボティクス、機構学、車両や航空宇宙の多体解析、ゲーム物理エンジンに至るまで幅広く用いられる。実在物体は弾性を持つが、荷重や時間スケールが適切であれば剛体近似は有効であり、連続体力学よりも少数の自由度で本質的な運動・荷重経路を把握できる点が利点である。
定義と仮定
剛体系は複数の剛体とそれらを結ぶ関節・接触・拘束から構成される。剛体の内部応力やひずみは明示的に解かず、幾何拘束によって形状が不変であるとする。したがってエネルギは主として並進・回転の運動エネルギで表され、材料非線形や塑性は対象外となる。必要に応じてバネ・ダンパ要素を付与し、剛–柔混成系として近似的に柔軟性を取り込むこともある。
自由度と配置空間
3Dの単一剛体は並進3と回転3の計6自由度を持つ。姿勢は回転行列R∈SO(3)や四元数で表し、位置r∈R^3と合わせてSE(3)上の配置g=(R,r)で記述する。n剛体の自由度は6nから拘束本数を差し引いた値となる。平面問題では各剛体が3自由度（x,y,θ）であり、機構解析や2Dロボットで多用される。一般化座標qを用いれば、拘束条件Φ(q,t)=0により自由度を体系的に数えられる。
- 姿勢表現の選択：Euler角は直感的だが特異（gimbal lock）を持つ。四元数は特異を避け正規化が必要である。
- 最大座標系と最小座標系：最大座標は直感的で拘束をλで処理、最小座標は物理自由度のみを使い小規模な方程式となる。
運動学（Kinematics）
剛体の速度場は質量中心速度v_Gと角速度ωで代表できる。姿勢Rの時間微分はṘ=RΩ（Ωはωの歪対称行列）で表され、関節変位q̇から末端速度を得るヤコビアンJ(q)が定義される。ころがり拘束など非ホロノミック拘束では速度レベルでの関係式A(q,t)q̇=b(q,t)を満たすが、座標関数として積分できない点に特徴がある。
動力学（Newton–EulerとLagrange）
単剛体の力学はF=ma_G、τ_G=I_Gω̇+ω×(I_Gω)で与えられる（I_Gは質量中心周りの慣性テンソル）。系全体では一般化座標を用いてM(q)q̈+C(q,q̇)q̇+g(q)=τ+J(q)^Tλを得る。ここでMは質量行列、Cはコリオリ・遠心項、gは重力項、τは駆動力、J^Tλは拘束反力である。D’Alembertの原理に基づくLagrangeの未定乗数法により、拘束力を未知乗数λとして同時に解く枠組みが定式化される。
慣性テンソルと主軸
慣性テンソルIは剛体の質量分布を表す対称行列で、固有値・固有ベクトルは主慣性モーメントと主軸を与える。任意点Oまわりの慣性は平行軸の定理でI_O=I_G+m[ d ]×[ d ]×^T（dはOから質量中心へのベクトル）により変換できる。薄板や回転体では解析式が知られ、複合形状は分割加算法で評価する。
拘束と関節の分類
- ホロノミック拘束：Φ(q,t)=0で表される幾何拘束（例：距離一定、ヒンジ結合）。
- 非ホロノミック拘束：速度レベルの拘束（例：純転がり、スキッドなし）。
- 両側/片側拘束：ジョイントは両側、接触は法線方向が片側で補集合条件と組み合わさる。
- 代表的関節：回転（revolute）、直動（prismatic）、球（spherical）、ねじ（helical）、ユニバーサルなど。
接触・摩擦とインパルス
接触は片側拘束g_n(q)≥0と反力λ_n≥0、互いにg_nλ_n=0の相補性で記述する。摩擦はCoulomb模型で|λ_t|≤μλ_n、滑り時はλ_t=-μλ_n t̂と近似される。衝突では微小時間Δtにおけるインパルス–運動量原理M(Δv)=J^T pを用い、反発係数eにより法線相対速度の跳躍を規定する。
数値解法と安定化
剛体系は拘束付き常微分方程式から微分代数方程式（DAE）へ拡張される。時間積分には半陰解法や投影法、Baumgarte安定化、ペナルティ法、Augmented Lagrangian法などが用いられる。イベント駆動で衝突や接触開始/離脱を扱い、拘束ドリフトを抑えるための投影や速度レベル修正が実装される。実時間応用では安定・一貫した摩擦接触解法が鍵となる。
平面剛体系（Planar Rigid Body）
2Dでは各剛体の自由度は(x,y,θ)の3であり、質量行列は3×3、姿勢は角度θで十分である。モーメント方程式はI_z θ̈=M_z−∑Cで単純化でき、機構解析やリンク機構の感度設計に向く。ベルト・カム・歯車接触も2Dで一次近似して挙動を把握できる。
工学的適用とモデル化の勘所
実機ではベアリングすき間、ボルト締結の剛性、関節のバックラッシュ、摩擦の速度依存など剛体仮定からの逸脱が性能を左右する。そこで初期段階は剛体で全体挙動を掴み、要所のみ剛–柔連成へ精緻化するのが実務的である。数値不安定は過大な拘束剛性、特異姿勢付近のパラメタ化、摩擦の不連続に起因しやすく、四元数の正規化や関節座標の選択、スティフ安定な積分器の採用が有効である。
連続体力学との関係
剛体系は連続体の極限モデルとして解釈できる。弾性を無視して運動が支配的な場面（高速マニピュレーション、衝突後の跳ね返り評価、機構の自由度設計など）に適する一方、高周波振動や疲労評価には弾性モデルが不可欠である。実務では目的に応じてモデル階層を切り替えることが重要である。
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