モールの円
モールの円（Mohr’s circle）は、任意方向面に作用する法線応力とせん断応力の変換を、平面上の幾何図形で直観的に表す作図法である。二次元の平面応力状態にある要素について、座標軸の回転に伴う応力成分の変化、主応力・最大せん断応力、その面の方向を、一つの円から読み取れる点に特徴がある。応力テンソルの固有値（主応力）と固有方向の概念を、作図で可視化する道具であり、材料力学・機械設計・土木構造の現場で広く用いられている。符号規約（法線応力引張を正、せん断応力の向き）を一貫させることが前提である。
基本概念
平面応力状態をσx, σy, τxyで表すとき、モールの円は次の幾何として定義される。点Aを(σx, τxy)、点Bを(σy, −τxy)にとる。円の中心Cは( (σx+σy)/2, 0 )、半径RはR = √{ [ (σx−σy)/2 ]² + (τxy)² }で与えられる。σ軸との交点が主応力σ1, σ2であり、円周上の任意点が、ある回転角に対応する面の法線応力・せん断応力の組を表す。
作図手順
- 応力状態から中心Cx=(σx+σy)/2と半径Rを計算する。
- 座標上に点A(σx, τxy)と点B(σy, −τxy)を打つ。
- Cを中心にA・Bを通る円を描く。これがモールの円である。
- 円がσ軸と交わる2点が主応力σ1 = Cx + R、σ2 = Cx − Rである。
- 物理空間で座標を角度θ回転した面は、図上で角度2θだけ反時計回りに移動した点に対応する（角度が2倍になる点に注意する）。
主応力・最大せん断応力
主応力は円の左右端で読み取り、σ1 = Cx + R、σ2 = Cx − Rである。最大せん断応力は円の上下端でτmax = Rとなる。主応力面の方向は、tan(2θp) = 2τxy / (σx − σy)から求められ、物理空間の面角は図の角の半分で表される。最大せん断面の方向は、主応力面からさらに45°回転した位置にある。
応力変換式との関係
モールの円は応力変換式σn = Cx + R cos(2θ), τn = R sin(2θ)の幾何表現である。円の半径Rは二次不変量に対応し、中心Cxは一次不変量σx+σyの半分である。したがって、座標変換によらず平均法線応力は一定に保たれる。図形読み取りは、テンソルの固有値解析と同値であり、直交変換の性質を視覚的に確認できる。
破壊基準・設計への応用
延性材料では最大せん断応力説（Tresca）やせん断エネルギー説（von Mises）を、脆性材料や地盤ではMohr-Coulomb基準を用いることが多い。モールの円に許容応力包絡線（設計基準）を重ねることで、余裕度や安全率を即時に評価できる。実務では図上の距離・角度で「どの面が危険か」「どの荷重変動で限界に接近するか」を素早く判断できる点が利点である。
3次元応力と平面応力・平面ひずみ
三次元では主応力σ1 ≥ σ2 ≥ σ3から、(σ1,σ2)、(σ2,σ3)、(σ1,σ3)の3つのモールの円を描く。二次元解析でも、平面ひずみでは面外応力σzがゼロでないため、フックの法則からσz = ν(σx+σy)（等方・等体積での代表形）などを算出してから評価する。平面応力と平面ひずみの取り違えは評価誤差の主要因である。
数値例（平面応力）
例としてσx = 80 MPa（引張）、σy = −20 MPa（圧縮）、τxy = 30 MPaを考える。中心Cx = (80 − 20)/2 = 30 MPa、半径R = √{[(80 − (−20))/2]² + 30²} = √(50² + 30²) ≈ 58.3 MPa。ゆえにσ1 ≈ 88.3 MPa、σ2 ≈ −28.3 MPa、τmax ≈ 58.3 MPa。主応力面の方向はtan(2θp) = 2×30/ (80 − (−20)) = 0.6より、2θp ≈ 30.96°、θp ≈ 15.5°である。最大せん断面はそこから約45°回転した面である。
実務での活用ポイント
- CAEやひずみゲージ計測で得た応力成分をモールの円に載せ、主応力と危険面を素早く特定する。
- 符号規約（τの正方向、A/B点の取り方）を統一し、円の向きと角度の対応（物理空間のθに対して図は2θ）を徹底する。
- 荷重履歴や残留応力の影響を平均応力の移動として解釈し、疲労設計の初期検討に用いる。
- 平面ひずみ・面外拘束の有無を確認し、必要に応じて三次元の複数円で評価する。
よくある誤りと対策
点Bのせん断成分符号を誤る、角度を2倍し忘れる／し過ぎる、σ軸・τ軸の向きを交差して描く、平均応力の不変性を見落とす、などが典型である。原点からの距離でなく中心からの距離がRである点、主応力は必ずσ軸上にある点を確認すれば、多くの誤りは防げる。
コメント（β版）