正規分布
正規分布は、確率論と統計学において広く利用される連続確率分布である。特に、データが中心に集まり、その周りに対称的に広がる特徴を持つ分布として知られている。正規分布は「ベル型曲線」や「ガウス分布」とも呼ばれ、データが平均値を中心に左右対称に広がる特徴を持つ。平均値をμ、標準偏差をσとすると、これらの2つのパラメータが正規分布の形を完全に決定する。統計学では、正規分布がデータの変動を説明するための基本モデルとして使用され、ビジネスの分野など様々な分野で応用されている。
正規分布の定義
正規分布は、確率密度関数（Probability Density Function, PDF）によって定義される。この関数は、xが実数であるすべての値に対して、次の式で与えられる:この式により、正規分布の曲線は、平均値を中心として左右対称であり、その形状は平均値と標準偏差によって決まる。
平均?=0,標準偏差σ=1の正規分布のグラフ
平均?=0,標準偏差σ=1の正規分布のグラフである。グラフは中心が平均値μで左右対称なベル型の曲線を描いており、標準偏差σがデータの広がりを示している。
異なる平均値μと標準偏差σを持つ複数の正規分布のグラフ
こちらは異なる平均値μと標準偏差σを持つ複数の正規分布のグラフである。このグラフは、平均μが分布の中心を決定し、標準偏差σが分布の広がりを決めることを示している。
μ=0,σ=0.5：中心が0で、非常に鋭く狭い曲線。μ=0,σ=1：中心が0で、標準的な広がりを持つ。
μ=0,σ=2：中心が0で、広くなだらかな曲線。
μ=2,σ=1：中心が2で、標準的な広がりを持つ。
μ=−2,σ=1：中心が-2で、同じ標準偏差を持つ。
正規分布の特性
正規分布は以下のような特性を持つ。第一に、平均値を中心とする左右対称の分布であること。第二に、平均値、中央値、最頻値がすべて同じである。第三に、約68%のデータが平均値から±1σ、約95%のデータが±2σ、約99.7%のデータが±3σの範囲内に存在する。このような特性から、正規分布は統計的推論において非常に重要な役割を果たしている。
標準正規分布
標準正規分布は、平均μが0、標準偏差σが1の特別なG2である。標準正規分布は、通常のG2を標準化する際に利用される。標準化とは、任意のG2の値を「Zスコア」に変換するプロセスであり、これによりデータの比較が容易になる。Zスコアは次のように計算される。この標準化により、異なるG2を持つデータを統一的に扱うことが可能となる。
Zスコア
この式は、観測値Xが平均μからどれだけ離れているかを標準偏差σで割ることにより、データを標準正規分布（平均0、標準偏差1）に変換することを意味している。
中心極限定理
中心極限定理は、独立したランダム変数の平均が正規分布に近づくことを示す重要な定理である。この定理によれば、十分な数のサンプルがあれば、そのサンプルの平均は元の分布に関係なく、正規分布に近づく。この性質は、統計学で正規分布が広く使われる理由の一つである。特に、標本サイズが大きくなるほど、平均値の分布が正規分布に近づくことから、実際のデータ分析において信頼性の高い推定が可能となる。
正規性の検定
データが正規分布に従っているかを確認するための方法として「正規性の検定」がある。代表的な検定方法には、シャピロ・ウィルク検定、コルモゴロフ・スミルノフ検定、アンダーソン・ダーリング検定などがある。これらの検定を通じて、データがどの程度正規分布に従っているかを評価し、適切な統計的手法を選択することが可能となる。
正規分布の限界
正規分布は多くの状況で有用であるが、すべてのデータが正規分布に従うわけではない。特に、極端な値（アウトライヤー）が多いデータや、非対称なデータは正規分布で適切に表現できない。このような場合には、ロジスティック分布やt分布など、他の分布を利用することが必要となる。また、正規分布を前提とする統計的手法を使う際には、データが正規分布に従っているかどうかを事前に確認することが重要である。
統計的推論
統計的推論では、データが正規分布に従うことを前提に理論が構築されている。サンプルデータから母集団の特性を推定する際に、正規分布を前提とした手法が多用される。例えば、母平均の推定や仮説検定、信頼区間の計算などが正規分布を基に行われる。特に、サンプルサイズが大きい場合には、中心極限定理により正規分布の仮定が成り立つため、統計的推論がより信頼性を持つ。
確率分布
ある数値（たとえばさいころの目）をXとして、そのXがデータを取るたびに確率的にいろいろな値に変化するときXを確率変数と呼び、それぞれの確率を表現したものを確率分布という。
正規分布の可視化
正規分布は、グラフを用いて可視化することで、その特性を直感的に理解することができる。ヒストグラムや折れ線グラフを用いてデータをプロットすると、データが正規分布に従うかどうかを視覚的に判断できる。また、Q-Qプロット（Quantile-Quantile Plot）を用いることで、データの正規性をさらに詳細に確認することも可能である。
Q-Qプロットの例
Q-Qプロットの例である。左側のグラフは正規分布に従うデータのQ-Qプロットで、プロットされた点が直線に沿って並んでいることから、データが正規分布に従っていることが確認できる。右側のグラフは正規分布に従わないデータ（例: 指数分布）のQ-Qプロットで、点が直線から大きく外れていることから、このデータが正規分布に従っていないことが示されている。
ビジネスへの応用
ビジネス分野においても、正規分布は重要な分析ツールである。例えば、製品の品質管理では、製造プロセスによるばらつきを評価するために正規分布が使われる。また、マーケティングや顧客分析において、顧客の行動パターンをモデル化する際にも正規分布が利用される。これにより、より正確な需要予測や顧客セグメンテーションが可能となり、ビジネス戦略の最適化に役立つ。
正規分布の応用
正規分布は、多くの自然現象や人間の行動、経済活動などにおいて観察される。例えば、身長や体重、試験の点数、誤差の分布などが正規分布に従うことが知られている。また、金融におけるリターンや価格変動の分析、品質管理における製品のばらつきなど、様々な分野で正規分布が利用されている。これにより、データの傾向を理解し、将来の予測や意思決定を行うことが可能となる。