ベイズ統計
ベイズ統計は、不確実な現象を扱ううえで、観測データや事前情報をもとに確率分布を更新していく手法である。古典的な頻度論的統計学では、観測データを繰り返し試行したときの相対頻度に基づいて確率を定義するが、ベイズ統計においては、主観的・客観的を問わず、与えられた情報に応じて確率を見直す手順が中心となる。具体的には、事前分布と観測データに基づく尤度を掛け合わせ、正規化することで新たな事後分布を得る。この一連の過程を通じて、未知パラメータに対する推測や将来予測を柔軟かつ体系的に行うことができる。
ベイズ統計の特色
ベイズ統計の最大の特色は、初期の仮定として設定された事前分布を明示的に扱う点にある。これは学習対象のパラメータについて、観測前にどのような知識や仮説を持っているかを数値的に表現したものである。データが追加されるたびに、この事前分布はベイズの定理を用いて修正され、新たな事後分布として更新される。こうしたプロセスは、不確実性をデータとともに段階的に減らしていくという考え方を示す。
ベイズの定理
ベイズの定理は、事前分布と尤度とを組み合わせて事後分布を求める基本的な方程式である。事前分布をP(θ)、観測データが得られる確率を表す尤度をP(D|θ)、事後分布をP(θ|D)とすると、ベイズの定理はP(θ|D) = [P(D|θ) P(θ)] / P(D)で表される。ここでP(D)は正規化定数として働き、P(θ)とP(D|θ)の積を適切にスケーリングして事後分布を得る。これにより、観測データDを踏まえたうえでθの確率分布を更新できる。
事後分布と予測分布
ベイズ推定では、最終的に得られる事後分布によってパラメータθに関する不確実性を把握するだけでなく、将来的な観測結果を予測する予測分布も得られる。予測分布は、求めた事後分布を用いて「未知の新しいデータが観測されるとき、どのような確率分布をとるか」を示す。こうした予測分布の存在により、意思決定や予測に対してベイズ的な解釈を提供することが可能になる。
MCMC法
観測データの次元が大きい場合や、複雑なモデルを扱う際には、事後分布を解析的に求めるのは困難である。そのため、マルコフ連鎖モンテカルロ法（MCMC法）が活用される。MCMC法は、事後分布からサンプリングを行い、連鎖的な乱数生成過程を通じてパラメータ空間を探索する。十分なステップを踏むことで、サンプル分布が事後分布に近づき、パラメータの期待値や分散、さらには予測分布を数値的に推定することが可能となる。
頻度論的統計との比較
頻度論的統計では、パラメータを固定値とみなし、観測データのばらつきのみを扱う。一方でベイズ統計は、パラメータにも確率分布を割り当てることで、主観や先験的な知見を含む推測を構築できる。これにより、少量のデータしか得られない場合や、パラメータに対する強い仮定を置きたい場合に柔軟に対応できる半面、事前分布の設定が恣意的になる可能性があるという批判も存在する。
ベイズ統計の応用例
- 医療データ解析：臨床試験の結果を順次更新し、有効性や安全性を動的に推定する
- 機械学習：スパース回帰やガウス過程などで事前分布を設定し、過学習を抑制する
- 意思決定：観測データを考慮しながら、意思決定ツールとしての期待効用を評価する
- 信頼性工学：故障確率の推定を段階的にアップデートし、保守計画を最適化する
ベイズ統計の課題と限界
モデル設定や事前分布の選択は、結果を大きく左右する重要な要素である。事前分布を誤って設定すれば、得られる事後分布も妥当性を欠く。また、MCMC法を用いた数値計算には時間がかかり、サンプリングの収束判定など実務的な問題も多い。それでもなお、データの少ない状況や段階的に知識を更新する必要がある状況下では、有用な統計学的アプローチとして広く活用されている。