モーメントの合成
モーメントの合成とは、同一点（あるいは同一直線）まわりに作用する複数のモーメントを、ベクトルの和として一つの結果（合モーメント）にまとめる手続きである。静力学では、力Fと位置ベクトルrによるモーメントをM=r×Fで表し、個々の寄与を加え合わせてMR=Σ(ri×Fi)とする。2次元問題では符号付きスカラーの加算、3次元問題ではベクトル和として扱う。合成により系の回転効果を簡潔に把握でき、梁の曲げ設計や機械要素のトルク配分、剛体の力系の簡約に広く用いられる。
静力学における定義
モーメントは回転させる効きであり、ベクトルM=r×Fで定義される。モーメントの合成は、同一基準点Oを選び、各力のモーメントMiを求めてMR=ΣMiとする操作である。純粋な偶力（カップル）は力の作用線が異なる等大反対向きの力対で、どの点を基準にしても一定のモーメントを与えるため、合成時には単純なベクトル加算により重ね合わせ可能である。ヴァリニョンの定理により、合力のモーメントは各力のモーメントの代数和に等しい。
2次元での作法
平面問題ではz軸まわりのモーメントだけを考え、反時計回りを正とする符号規約を採用することが多い。したがってMR=ΣMi（代数和）でよく、単位はN・mを用いる。例として、点Oに対し+30 N・mと−12 N・mが同時に作用すれば、合モーメントは+18 N・mとなる。偶力Cが+5 N・m追加されれば、合成結果は+23 N・mとなる。
3次元でのベクトル和
空間内ではM=(Mx, My, Mz)を成分表示し、モーメントの合成は成分ごとの加算で求める。右ねじの規約によりr×Fの向きを決め、各成分をΣしてMRを得る。例えばM1=(10,−5,0) N・m、M2=(−4,3,7) N・mなら、MR=(6,−2,7) N・mである。必要に応じて大きさ∥MR∥や方向余弦を計算し、軸受やジョイントの許容モーメントと比較する。
作用点と基準点の選択
合成は「どの点まわりか」を明示することが重要である。単独の力によるモーメントは基準点を変えると値が変わるが、偶力は点に依存しない。力系の簡約では、まず合力R=ΣFを求め、基準点Oにおける合モーメントMO=Σ(ri×Fi)を得る。R≠0なら、Rの作用線上に移す過程で追加の偶力が生じ、最終的に「合力R＋残留偶力C」に整理できる。
合力と合モーメントの同時簡約
任意の力系は、ある点Oにおける合力Rと合モーメントMOで表現できる。Rが存在する限り、適切な点A（Rの作用線上）へ移すことで、Aまわりのモーメントは純粋な偶力Cだけにできる（スクリュー理論の観点）。このときC=MO−rOA×Rである。R=0の場合は純偶力系であり、合成結果はベクトルCのみとなる。
設計・解析での典型例
- 梁：分布荷重と点荷重の曲げモーメントを区間ごとに統合し、包絡線を描く。
- 軸系：複数ギヤ・プーリのトルクを合成し、ねじり強度と捩り角を評価する。
- フレーム：関節に入る偶力を合成して、溶接部やボルトの設計せん断力と連成評価を行う。
計算手順（実務の勘所）
- 基準点Oを明示し、座標系と符号規約を固定する。
- 各力Fiに対し、位置riを測りMi=ri×Fiを算出する。
- 偶力は大きさ・向きをそのまま加える（点に依存しない）。
- 2次元は代数和、3次元は成分和でMRを得る。
- 必要なら合力Rとあわせて作用線への移し替えを行い、残留偶力Cを評価する。
符号・単位・数値例の注意
符号の取り違えは頻出である。座標系、回転正方向、単位（N・mかN・mmか）を統一する。たとえば、O=(0,0,0)、F1=(0,100,0) Nが点A=(0,0.2,0) mに作用するとき、M1=A×F1=(0,0,0) N・mで回転効果を持たない。一方、F2=(100,0,0) NがB=(0,0.3,0) mに作用すれば、M2=(0,0,−30) N・mとなる。偶力C=(0,0,12) N・mが同時に作用すれば、合成結果はMR=(0,0,−18) N・mである。
ベクトル表示の小まとめ
モーメントの合成は、問題を単純化し、回転の安全率や剛性評価を容易にする。計算は「点を決める」「偶力は点に依らず足し込む」「2Dは代数、3Dは成分」の3原則に従えば安定する。さらに、合力との同時簡約を意識すれば、力学系の見通しが格段に良くなる。